Question

如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點(diǎn)D，與直角邊AC相交于E、F兩點(diǎn)，連結(jié)DE，已知∠B=30°，⊙O的半徑為12，弧DE的長(zhǎng)度為4π．
（1）求證：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求線段BC的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),弧長(zhǎng)的計(jì)算

專題：幾何綜合題

分析：（1）要證明DE∥BC，可證明∠EDA=∠B，由弧DE的長(zhǎng)度為4π，可以求得∠DOE的度數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì)可求得∠EDA的度數(shù)，即可證明結(jié)論．
（2）根據(jù)90°的圓周角對(duì)的弦是直徑，可以求得EF，的長(zhǎng)度，借用勾股定理求得AE與CF的長(zhǎng)度，即可得到答案．

解答：解：（1）證明：連接OD、OE，

∵AD是⊙O的切線，
∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，
又∵弧DE的長(zhǎng)度為4π，
∴4π=

nπ×12

180

，
∴n=60，
∴△ODE是等邊三角形，
∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，
∴∠B=∠EDA，
∴DE∥BC．

（2）連接FD，

∵DE∥BC，
∴∠DEF=∠C=90°，
∴FD是⊙0的直徑，
由（1）得：∠EFD=

1

2

∠EOD=30°，F(xiàn)D=24，
∴EF=12

3

，
又∵∠EDA=30°，DE=12，
∴AE=4

3

，
又∵AF=CE，∴AE=CF，
∴CA=AE+EF+CF=20

3

，
又∵tan∠ABC=tan30°=

AC

BC

=

3

3

，
∴BC=60．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理以及圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于90°的圓周角對(duì)的弦是直徑這一性質(zhì)的靈活運(yùn)用．