Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立刻以原來的速度沿AB返回．點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止．連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．

（1）在點(diǎn)Q從B到A的運(yùn)動(dòng)過程中，
①當(dāng)t=時(shí)，PQ⊥AC；
（2）②求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線為l．
①當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，射線QP交AD于點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng)；
②當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：如圖1所示，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，

AP=t，AQ=3﹣t，

則∠AHP=∠ABC=90°，

∵∠PAH=∠CAB，

∴△AHP∽△ABC，

∴ ，

∵AP=t，AC=5，BC=4，

∴PH= t，

∴S= （3﹣t） t，

即S=﹣ t2+ t，t的取值范圍是：0＜t＜3．

（3）

解：①如圖2，線段PQ的垂直平分線為l經(jīng)過點(diǎn)A，則AP=AQ，

即3﹣t=t，

∴t=1.5，

∴AP=AQ=1.5；

延長(zhǎng)QP交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QO∥AD交AC于點(diǎn)O，

則△AQO∽△ABC，

∴ ，

∴AO= AC= ，QO= BC=2，

∴PO=AO﹣AP=1．

∵OQ∥BC∥AD，

∴△APE∽△OPQ

∴ ，

∴AE= QO=3．

②（�。┤鐖D3，當(dāng)點(diǎn)Q從B向A運(yùn)動(dòng)時(shí)l經(jīng)過點(diǎn)B，

BQ=CP=AP=t，∠QBP=∠QAP

∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°

∴∠PBC=∠PCB CP=BP=AP=t

∴CP=AP= AC= ×5=2.5∴t=2.5．

（ⅱ）如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)時(shí)l經(jīng)過點(diǎn)B；

BP=BQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，AP=t，PC=5﹣t，

過點(diǎn)P作PG⊥CB于點(diǎn)G，則PG∥AB，

∴△PGC∽△ABC，

∴ ，

∴PG= AB= （5﹣t），CG= BC= （5﹣t），

∴BG=4﹣ （5﹣t）= t，

由勾股定理得：BP2=BG2+PG2，

即（6﹣t）2=（ t）2+[ （5﹣t）]2，

解得：t= ；

綜上所述：存在t的值，使得直線l經(jīng)過點(diǎn)B，t的值是2.5或 ．

【解析】解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AC= = =5，
∵PQ⊥AC，
∴∠APQ=90°=∠B，
又∵∠PAQ=∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得：t= ，
即t= 時(shí)，PQ⊥AC，
所以答案是： ；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．