如圖,A、B兩點的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,3),C點在x軸的正半軸上,且到原點的距離為1.點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā),以相同的速度分別向x軸、y軸的正方向作勻速直線運動,直線PQ交直線AB于D.
(1)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線及直線AB解析式;
(2)設(shè)AP的長為m,△PBQ的面積為S,求出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.
(3)作PE⊥AB于E,當(dāng)P、Q運動時,線段DE的長是否改變?若改變請說明理由,若不改變,請求出DE的長;
(4)有一個以AB為邊的,且由兩個與△AOB全等的三角形拼結(jié)而成的平行四邊形ABST,試求出T點的坐標(biāo)(畫出圖形,直接寫出結(jié)果,不需求解過程).
分析:(1)先求出點C的坐標(biāo),然后設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答,設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n(k≠0),再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答;
(2)表示出OP,然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解;
(3)根據(jù)點A、B的坐標(biāo)求出△AOB是等腰直角三角形,然后求出∠OAB=∠OBA=45°,過點Q作QF⊥AB交AB的延長線于F,根據(jù)對頂角相等可得∠QFB=45°,從而得到∠QBF=∠PAE,然后利用“角角邊”證明△APE和△BQF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BF,PE=QF,再利用“角角邊”證明△DEP和△DFQ全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF,整理即可得到DE=
1
2
AB;
(4)分AO、BO是平行四邊形的邊兩種情況作出圖形,再根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等解答.
解答:解:(1)由題意得,C(1,0),
設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
9a-3b+c=0
c=3
a+b+c=0
,
解得
a=-1
b=-2
c=3
,
∴設(shè)拋物線解析式為y=-x2-2x+3,
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n(k≠0),
-3k+n=0
n=3
,
解得
k=1
n=3

∴直線AB的解析式為y=x+3;

(2)∵AP的長為m,點P、Q的速度相同,
∴OP=3-m,AP=QB=m,
∴△PBQ的面積為S=
1
2
QB•OP=
1
2
m(3-m)=-
1
2
m2+
3
2
m,
故S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為:S=-
1
2
m2+
3
2
m;

(3)∵A(-3,0)、B(0,3),
∴OA=OB=3,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
過點Q作QF⊥AB交AB的延長線于F,
則∠QFB=∠ABO=45°,
∴∠QBF=∠PAE,
在△APE和△BQF中,
∠QBF=∠PAE
∠AEP=∠F=90°
AP=QB
,
∴△APE≌△BQF(AAS),
∴AE=BF,PE=QF,
在△DEP和△DFQ中,
∠AEP=∠F=90°
∠PDE=∠QDF
PE=QF

∴△DEP≌△DFQ(AAS),
∴DE=DF,
∵AB=AE+DE+DB=BF+DE+DB=2DE,
∴DE=
1
2
AB,
在Rt△AOB中,AB=
OA2+OB2
=
32+32
=3
2

∴DE=
3
2
2



(4)如圖,AO是平行四邊形的邊時,點T與坐標(biāo)原點重合,所以,點T的坐標(biāo)是(0,0),
BO是平行四邊形的邊時,AT=OB=3,所以,點T的坐標(biāo)是(-3,-3).
點評:本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式(包括二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式),三角形的面積,等腰直角三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),難點在于(3)作輔助線構(gòu)造出全等三角形.
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5
.且點B橫坐標(biāo)是點B縱坐標(biāo)的2倍.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)點A橫坐標(biāo)為m,△ABO面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量的取值范圍.

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8-2
2
和8+2
2
8-2
2
和8+2
2

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