Question

已知⊙O半徑為R
（1）如圖1，過⊙O內(nèi)一點(diǎn)P作弦AB，連接OP．求證：PA•PB=R²-OP²．
（2）如圖2，過⊙O外一點(diǎn)P，作割線PAB，求證：PA•PB=R²-OP²．

Answer 1

考點(diǎn)：切割線定理

專題：證明題

分析：（1）過點(diǎn)P作直徑CD，如圖1，根據(jù)相交弦定理得PA•PB=PC•PD，由于而PC=R-OP，PD=R+OP，則PA•PB=（R-OP）（R+OP），然后利用平方差公式展開即可得到結(jié)論；
（2）直線OP交⊙O于C、D，如圖2，根據(jù)切割線定理得到PA•PB=PC•PD，由于PC=OP-R，PD=OP+R，則PA•PB=（OP-R）（OP+R）=OP²-R²，然后利用平方差公式展開即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）過點(diǎn)P作直徑CD，如圖1，
∵PA•PB=PC•PD，
而PC=OC-OP=R-OP，PD=OD+OP=R+OP，
∴PA•PB=（R-OP）（R+OP）=R²-OP²；


（2）直線OP交⊙O于C、D，如圖2，
∵PCD和PAB都為⊙O的割線，
∴PA•PB=PC•PD，
而PC=OC-OP=OP-R，PD=OD+OP=OP+R，
∴PA•PB=（OP-R）（OP+R）=OP²-R²．

點(diǎn)評：本題考查了切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)．推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等． 也考查了相交弦定理．