Question

【題目】如圖，⊙O的直徑為AB，點(diǎn)C在圓周上（異于A，B），AD⊥CD．

（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；
（2）若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB是⊙O直徑，C在⊙O上，

∴∠ACB=90°，

又∵BC=3，AB=5，

∴由勾股定理得AC=4

（2）

解：證明：

∵AC是∠DAB的角平分線，

∴∠DAC=∠BAC，

又∵AD⊥DC，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠DCA=∠CBA，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠OAC+∠OBC=90°，

∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，

∴DC是⊙O的切線

【解析】（1）首先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)即可；（2）連接OC，證OC⊥CD即可；利用角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，可證得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得證．此題主要考查的是切線的判定方法．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．