Question

在直角坐標(biāo)系XOY中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為6．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）在x軸上方的拋物線(xiàn)上，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？如果存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知頂點(diǎn)，就已知對(duì)稱(chēng)軸，又AB=6，可求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)了，可設(shè)拋物線(xiàn)交點(diǎn)式求解；
（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)先研究△ABC的特殊性，AC=BC，∠A=∠B=30°，故△ABQ也是等腰三角形，AB為腰，且∠A=30°或者∠B=30°，通過(guò)解直角三角形可求Q點(diǎn)坐標(biāo)，再判斷Q點(diǎn)是否在拋物線(xiàn)上．
解答：解：（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（4，-），且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為6，
∴對(duì)稱(chēng)軸x=4，A（1，0），B（7，0），
設(shè)拋物線(xiàn)解析式y(tǒng)=a（x-1）（x-7），將C點(diǎn)坐標(biāo)代入可得a=，
∴所求解析式為y=x²-x+；

（2）在x軸上方的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
因?yàn)椤鰽BC為等腰三角形，
∴當(dāng)AB=BQ，
∵AB=6，
∴BQ=6，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，則AD=3，CD=
∴∠BAC=∠ABC=30°，
∴∠ACB=120°，
∴∠ABQ=120°，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，則∠QBE=60°，
∴QE=BQsin60°=6×=3，
∴BE=3，
∴E（10，0），．
當(dāng)x=10時(shí)，y=×10²-×10+=3；
∴點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，
還存在一點(diǎn)，使△ABQ′∽△CAB故存在點(diǎn)或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線(xiàn)解析式的求法，在拋物線(xiàn)上尋找三角形相似的條件的方法．