Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在AB上，以AD為直徑的⊙O與BC相交于點E，與AC相交于點F，AE平分∠BAC．

（1）求證：BC是⊙O的切線．

（2）若∠EAB＝30°，OD＝3，求圖中陰影部分的面積．

（3）若AD＝5，AE＝4，求AF．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）如圖，連結OE，由角平分線的定義可得∠CAE＝∠EAD，由等腰三角形的性質可得∠EAD＝∠OEA，即可證明∠OEA＝∠CAE，可得OE//AC，根據平行線的性質可得∠OEB＝∠C＝90°，即可證明BC是⊙O的切線；（2）由角平分線的定義可得∠EOD＝60°，即可得出∠B=30°，根據含30°角的直角三角形的性質可求出OB的長，利用勾股定理求出BE的長，根據S陰影=S△OEB-S扇形OED即可得答案；（3）如圖，連接DE，EF，由AD是直徑可得∠AED=90°，利用勾股定理可求出DE的長，由∠CAE＝∠EAD，∠ACE＝∠AED＝90°可證明△ACE∽△AED，根據相似三角形的性質可求出AC、CE的長，∠ADE＝∠AEC，由圓內接四邊形的性質可得∠CFE＝∠ADE，可得∠AEC＝∠CFE，即可證明△CEF∽△CAE，根據相似三角形的性質可求出CF的長，根據AF=AC-CF可得答案.

（1）如圖，連接OE，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE＝∠EAD，

∵OA＝OE，

∴∠EAD＝∠OEA，

∴∠OEA＝∠CAE，

∴OE∥AC，

∴∠OEB＝∠C＝90°，

∴OE⊥BC，

∴BC是⊙O的切線.

（2）解：∵∠EAB＝30°，AE平分∠BAC，

∴∠EOD＝60°，

∴∠OEB＝90°，

∴∠B＝30°，

∴OB＝2OE＝2OD＝6，

∴，

∴

，

∴．

（3）如圖，連接DE，EF，

∵AD為⊙O的直徑，

∴∠AED＝90°，

∴，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE＝∠EAD，

又∵∠ACE＝∠AED＝90°，

∴△ACE∽△AED，

∴，∠ADE＝∠AEC，

∴，

∵四邊形AFED為圓內接四邊形，

∴∠AFE+∠ADE=180°，

∵∠CFE+∠AFE=180°，

∴∠CFE＝∠ADE，

∴∠AEC＝∠CFE，

∵∠FCE＝∠ACE，

∴△CEF∽△CAE，

∴，

∴，

∴AF＝AC﹣CF＝．