Question

【題目】拋物線m：y=x2﹣2x+2與直線l：y=x+2交于A，B（A在B的左側(cè)），且拋物線頂點(diǎn)為C．

（1）求A，B，C坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC下方，當(dāng)以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及此時(shí)三角形的面積．

（3）將拋物線m：y=x2﹣2x+2沿直線OC方向平移得拋物線m′，與直線l：y=x+2交于A′，B′，問(wèn)在平移過(guò)程中線段A′B′的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．

Answer 1

【答案】（1）A（0，2），B（3，5），C（1，1）；（2）D（， ）；（3）A′B′的長(zhǎng)度為定值，理由見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）利用配方法得到y(tǒng)=（x﹣1）2+1，從而可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將y=x2﹣2x+2與y=x+2可求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交拋物線與點(diǎn)P．先求得直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m+2），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m+2），則PD=﹣m2+m，然后依據(jù)S△ACD=S△APD+S△CPD的到△ACD的面積與m的函數(shù)關(guān)系式，最后，利用配方法可求解即可．

（3）過(guò)點(diǎn)A′作A′M⊥x軸，垂足為M，B′N⊥x軸，垂足為N，作A′G⊥B′N，垂足為G，則A′B′=A′G，設(shè)平移后拋物線的解析式為y=（x﹣a）2+a．A′（x1，y1）B′（x2，y2），依據(jù)完全平方公式得到A′G=．由將y=x+2代入y=（x﹣a）2+a得到關(guān)于x的方程，依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得到x2+x1=2a+1，x2x1=a2+a+2，從而可求得A′G的長(zhǎng)，最后可得到A′B′的長(zhǎng)．

試題解析：（1）∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，

∴C（1，1），

將y=x2﹣2x+2與y=x+2聯(lián)立得： ，解得： 或，

∴A（0，2），B（3，5）；

（2）如圖1所示：過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交拋物線與點(diǎn)P．

設(shè)AC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得： ，解得k=﹣1，b=2，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+2，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m+2），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m+2），則PD=（﹣m+2）﹣（m2﹣2m+2）=﹣m2+m．

S△ACD=S△APD+S△CPD=×1DP=（﹣m2+m）=﹣（m﹣）2+，

∴當(dāng)m=時(shí)，△ACD的面積有最大值，最大值為，

此點(diǎn)D的坐標(biāo)為（， ）；

（3）如圖2所示：過(guò)點(diǎn)A′作A′M⊥x軸，垂足為M，B′N⊥x軸，垂足為N，作A′G⊥B′N，垂足為G，則A′B′=A′G，

設(shè)OC的解析式為y=kx，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得到k=1，則OC的解析式為y=x，

設(shè)平移后拋物線的解析式為y=（x﹣a）2+a，

設(shè)A′（x1，y1）B′（x2，y2），則A′G=|x2﹣x1|= ，

將y=x+2代入y=（x﹣a）2+a得：x2﹣（2a+1）x+a2+a+2=0，

∴x2+x1=2a+1，x2x1=a2+a+2．

∴A′G= =3，

∴A′B′=3 ，

∴A′B′的長(zhǎng)度為定值．