Question

在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝ ．如圖，把△ABC的一邊BC放置在x軸上，有OB＝14，OC＝ ，AC與y軸交于點E．

(1)求AC所在直線的函數(shù)解析式；

(2)過點O作OG⊥AC，垂足為G，求△OEG的面積；

(3)已知點F(10，0)，在△ABC的邊上取兩點P，Q，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與△OFP全等，且這兩個三角形在OP的異側(cè)？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：    一次函數(shù)綜合題。

分析：    (1)根據(jù)三角函數(shù)求E點坐標，運用待定系數(shù)法求解；

(2)在Rt△OGE中，運用三角函數(shù)和勾股定理求EG，OG的長度，再計算面積；

(3)分兩種情況討論求解：①點Q在AC上；②點Q在AB上．求直線OP與直線AC的交點坐標即可 ．

解答：    解：(1)在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝ ＝ ，∴點E(0，2 )．

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y＝kx＋ ，有 ，解得：k＝ ．

∴直線AC的函數(shù)解析式為y＝ ．

(2)在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝ ＝ ，

設(shè)EG＝3t，OG＝5t，OE＝ ＝ t，∴ ，得t＝2，

故EG＝6，OG＝10，

∴S△OEG＝ ．

(3)存在．

①當點Q在AC上時，點Q即為點G，

如圖1，作∠FOQ的角平分線交CE于點P1，

由△OP1F≌△OP1Q，則有P1F⊥x軸，由于點P1在直線AC上，當x＝10時，

y＝－ ＝ ，

∴點P1(10， )．

②當點Q在AB上時，

如圖2，有OQ＝OF，作∠FOQ的角平分線交CE于點P2，

過點Q作QH⊥OB于點H，設(shè)OH＝a，

則BH＝QH＝14－a，

在Rt△OQH中，a2＋(14－a)2＝100，

解得：a1＝6，a2＝8，

∴Q(－6，8)或Q(－8，6)．

連接QF交OP2于點M．

當Q(－6，8)時，則點M(2，4)．

當Q(－8，6)時，則點M(1，3)．

設(shè)直線OP2的解析式為y＝kx，則

2k＝4，k＝2．

∴y＝2x．

解方程組 ，得 ．

∴P2( )；

當Q(－8，6)時，則點M(1，3)．

同理可求P2′( )．

綜上所述，滿足條件的P點坐標為(10， )或( )或( )．

點評：    此題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，運用了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性強，難度大．