Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，A，B，C是坐標軸上的定點，平移線段AB得到線段CD，使點A與點C對應，點B與點D對應．
（1）畫出線段CD，并寫出畫法；
（2）點P是x軸上的動點（不與點B，C重合），設(shè)∠PAC=α，∠PBD=β，∠APB=θ．
①當點P在線段BC上時，求證：θ=α+β；
②當點P在線段CB（BC）的延長線上時，①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，連結(jié)AC，
過點B畫AC的平行線l，在l上截取BD=AC，
連結(jié)CD，則CD即為所求線段；

（2）①如圖1，過點P畫PE∥AC，
∵AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠APE=∠PAC，∠EPB=∠PBD，
∴∠APB=∠APE+∠EPB=∠PAC+∠PBD．
即θ=α+β；

②如圖2，不成立．
當點P在線段CB（BC）的延長線上時，
∠APB=∠EPA-∠EPB=∠PBD-∠PAC，即θ=β-α．
分析：（1）連結(jié)AC，過點B畫AC的平行線l，在l上截取BD=AC連結(jié)CD即可；
（2）①過點P畫PE∥AC，利用平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)得出即可；
②過點P畫PE∥AC，利用平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)得出即可．
點評：此題主要考查了平移變換以及平行線的性質(zhì)和三角形的外交等知識，正確得出平行線PE是解題關(guān)鍵．