Question

15．如圖①，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于點(diǎn)M，連接CM．
（1）求證：BE=AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)；
（3）當(dāng)α=90°時(shí)，取AD，BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖②，判斷△CPQ的形狀，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；
（2）根據(jù)△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，再根據(jù)∠AFC=∠BFH，即可得到∠AMB=∠ACB=α；
（3）先根據(jù)SAS判定△ACP≌△BCQ，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，最后根據(jù)∠ACB=90°即可得到∠PCQ=90°，進(jìn)而得到△PCQ為等腰直角三角形．

解答 解：（1）如圖1，∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB\\;}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；

（2）如圖1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-α，
∴∠BAM+∠ABM=180°-α，
∴△ABM中，∠AMB=180°-（180°-α）=α；

（3）△CPQ為等腰直角三角形．
證明：如圖2，由（1）可得，BE=AD，
∵AD，BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，
∴AP=BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠CAP=∠CBQ}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠BCQ+∠PCB=90°，
∴∠PCQ=90°，
∴△CPQ為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用．等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．解題時(shí)注意掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等的運(yùn)用．