Question

如圖，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于4的菱形，∠ABC=60°，點(diǎn)M為邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)N為邊DC上一點(diǎn)，且AM=DN．
（1）AM=DN=3時(shí)，求△BMN的面積；
（2）是否存在一點(diǎn)M和點(diǎn)N，使△BMN的面積等于

5 3

2

？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M和點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AEB中求出BE，在Rt△NCF中求出NF，繼而得出GN，則S_△BMN=S_菱形ABCD-S_△ABM-S_△MDN-S_△BCN，代入計(jì)算即可．
（2）設(shè)AM=DN=x，則分別表示出BE，NF，GN，根據(jù)（1）的思路表示出△BMN的面積，從而建立方程求解即可．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DA，交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FN交AD于點(diǎn)G，
∵∠ABC=60°，四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABE=30°，∠FCN=60°，
又∵四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于4，
∴AE=2，BE=2

3

，
∵AM=DN=3，
∴CN=CD-DN=1，
∴CF=

1

2

，NF=

3

2

，
∴GN=GF-NF=BE-NF=

3 3

2

，
∴S_△BMN=S_菱形ABCD-S_△ABM-S_△MDN-S_△BCN=4×2

3

-

1

2

×3×2

3

-

1

2

×1×

3 3

2

-

1

2

×4×

3

2

=

13 3

4

；

（2）存在一點(diǎn)M和點(diǎn)N，使△BMN的面積等于

5 3

2

．
設(shè)AM=DN=x，則DM=4-x，CN=4-x，
在Rt△CNF中，∠CNF=30°，
∴NF=

3

2

（4-x），
∴GN=2

3

-

3

2

（4-x），
∴S_△BMN=S_菱形ABCD-S_△ABM-S_△MDN-S_△BCN
=4×2

3

-

1

2

×x×2

3

-

1

2

×（4-x）×[2

3

-

3

2

（4-x）]-

1

2

×4×

3

2

（4-x）
=-

3

4

x²-

3

x+4

3

=-

3

4

（x-2）²+5

3

，
∴當(dāng)x=2時(shí)，△BMN的面積最大，最大值為5

3

．
此時(shí)M、N分別在AD、CD的中點(diǎn)處．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用解直角三角形的知識(shí)得出有關(guān)線段的長(zhǎng)度表達(dá)式，注意利用“轉(zhuǎn)化法”表示不規(guī)則圖形的面積．