【題目】已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D．

（I）如圖①，若BC是⊙O的直徑，BC＝4，求BD的長；

（Ⅱ）如圖②，若∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，求證：DE＝DB．

【答案】（I）BD＝2；（II）見解析.

【解析】

（I）連接OD，易證△DOB是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出BD的長；

（II）由角平分線的定義結(jié)合（1）的結(jié)論即可得出∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出∠EBD＝∠DEB，由此即可證出BD＝DE．

解：（I）連接OD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC＝90°，

∵∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，

∴∠BAD＝∠CAD＝45°，

∴∠BOD＝90°，

∵BC＝4，

∴BO＝OD＝2，

∴；

（II）證明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE．

∵∠BAD＝∠CBD，

∴∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE．

又∵∠DEB＝BAE+∠ABE，

∴∠EBD＝∠DEB，

∴BD＝DE．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《孫子算經(jīng))是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，其中記載的“蕩杯問題”非常有趣．原題是今有婦人河上蕩杯，津吏問日：“杯何以多？”婦人日：“有客．”津吏日：“客幾何？”婦人日：“兩人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．不知客幾何？”

大意：一個(gè)婦女在河邊洗碗，河官問：“洗多少碗？有多少客？”婦女答：“洗只碗，客人二人．共用一只飯碗，三人共用一只湯碗，四人共用一只肉碗．問：有多少客人用餐？”請解答上述問題．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，是的外接，是直徑，是外一點(diǎn)且滿足，連接．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，，求直徑的長；

（3）如圖2，當(dāng)時(shí)，與交于點(diǎn)，試寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，，為的平分線，點(diǎn)在上，經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與，分別交于點(diǎn)，．

（1）求證：與相切；

（2）若，，求的半徑和的長．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[問題發(fā)現(xiàn)]如圖1，半圓的直徑是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是_．

[問題解決]如圖2所示的是某街心花園的一角．在扇形中，米，在圍墻和上分別有兩個(gè)入口和且米，是的中點(diǎn)，出口在上．現(xiàn)準(zhǔn)備沿從入口到出口鋪設(shè)兩條景觀小路，在四邊形內(nèi)種花，在剩余區(qū)域種草．

①出口設(shè)在距直線多遠(yuǎn)處可以使四邊形的面積最大？最大面積是多少？（小路寬度不計(jì)）

②已知鋪設(shè)小路所用的普通石材每米的造價(jià)是元，鋪設(shè)小路所用的景觀石材每米的造價(jià)是元問：在上是否存在點(diǎn)，使鋪設(shè)小路和的總造價(jià)最低？若存在，請求出最低總造價(jià)和出口距直線的距離；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位，均在格點(diǎn)上，按如下要求作圖．

（1）將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)；

（2）以為對角線畫一個(gè)各邊都不相等的四邊形，且，此時(shí)四邊形的面積為_______．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：在△ABC 中，R 和 r 分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O 和 I 分別為其外心和內(nèi)心，則OI R2Rr .

下面是該定理的證明過程（借助了第(2)問的結(jié)論）：

延長AI 交⊙O 于點(diǎn) D，過點(diǎn) I 作⊙O 的直徑 MN，連接 DM，AN.

∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所對的圓周角相等），

∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ①

如圖②，在圖 1（隱去 MD，AN）的基礎(chǔ)上作⊙O 的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF

∵DE 是⊙O 的直徑，∴∠DBE=90°.

∵⊙I 與 AB 相切于點(diǎn) F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA.

∵∠BAD=∠E（同弧所對圓周角相等），

∴△AIF∽△EDB．

∴，∴②，

由（2）知：，

∴

又∵，

∴ 2Rr(R d )(R d ) ，

∴ R d 2Rr

∴ d R 2Rr

任務(wù)：（1）觀察發(fā)現(xiàn)： IM R d ， IN （用含R，d 的代數(shù)式表示）；

（2）請判斷 BD 和 ID 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（請利用圖 1 證明）

（3）應(yīng)用：若△ABC 的外接圓的半徑為 6cm，內(nèi)切圓的半徑為 2cm，則△ABC 的外心與內(nèi)心之間的距離為 　　cm．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點(diǎn)P，連接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．則圖中陰影部分的面積為____．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某水果店11月份購進(jìn)甲、乙兩種水果共花費(fèi)1700元，其中甲種水果8元/千克，乙種水果18元/千克．12月份，這兩種水果的進(jìn)價(jià)上調(diào)為：甲種水果10元/千克，乙種水果20元/千克．

（1）若該店12月份購進(jìn)這兩種水果的數(shù)量與11月份都相同，將多支付貨款300元，求該店11月份購進(jìn)甲、乙兩種水果分別是多少千克？

（2）若12月份將這兩種水果進(jìn)貨總量減少到120千克，設(shè)購進(jìn)甲種水果a千克，需要支付的貨款為w元，求w與a的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，若甲種水果不超過90千克，則12月份該店需要支付這兩種水果的貨款最少應(yīng)是多少元？

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案