Question

已知，如圖，在△ABC中，AG⊥BC于G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，分別過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．
（1）若PE=4，AP=5，BG=3，求線段AG的長；
（2）若AB=kAE，AC=kAF（k＞0），求線段EP與線段FQ的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證△AEP∽△BAG，可求得AG的長；
（2）通過相似三角形△AEP∽△BAG的對應(yīng)邊成比例知：

EP

AG

=

AE

AB

=

1

k

，則易證△FQA∽△AGC，所以

FQ

AG

=

AF

AC

=

1

k

．故EP=FQ．

解答：解：（1）∵∠EAP+∠PEA=90°，∠BAG+∠EAP=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
∴△AEP∽△BAG，
∴

PE

AG

=

AP

BG

，AG=

12

5

，
（2）∵EP⊥AG，AG⊥BC，
∴∠EPA=∠BGA=90°．
又∵∠EAB=90°，
∴∠PEA=∠GAB，∠PAE=∠GBA（同角的余角相等），
∴△AEP∽△BAG，
∴

EP

AG

=

AE

AB

=

1

k

（相似三角形的對應(yīng)邊成比例），
同理，△FQA∽△AGC，則

FQ

AG

=

AF

AC

=

1

k

（相似三角形的對應(yīng)邊成比例），
∴

EP

AG

=

FQ

AG

（等量代換），
∴EP=FQ．

點評：本題考查了相似綜合題．其中涉及到的知識點有矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等，利用比例相等也可以證明線段相等．