Question

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且滿足：

a+3

c-b

=

a(a-1)

b+c

=k．
（1）求證：k=

a2+3

2c

；
（2）求證：c＞b；
（3）當(dāng)k=2時(shí)，證明：AB是的△ABC最大邊．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形邊角關(guān)系

專題：

分析：（1）運(yùn)用比例的有關(guān)性質(zhì)將所給的代數(shù)式，恒等變形，即可解決問(wèn)題．
（2）根據(jù)k＞0，結(jié)合c與k的關(guān)系，比較分析即可解決問(wèn)題．
（3）根據(jù)題意，用a分別表示出b、c的值，靈活運(yùn)用一元二次不等式的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行比較、分析、探究，即可解決問(wèn)題．

解答：解析：（1）∵

a+3

c-b

=

a(a-1)

b+c

=k，
∴

c+b

c-b

=

a2-a

a+3

，
∴

2c

c-b

=

a2+3

a+3

，
∴

a+3

c-b

=

a2+3

2c

，
∴k=

a2+3

2c

．
（2）∵k=

a2+3

2c

＞0，而

a+3

c-b

=k，a+3＞0，
∴c-b＞0，c＞b．
（3）當(dāng)k=2時(shí)，
∵

a+3

c-b

=

a2-a

b+c

=2，
∴

a+3=2c-2b① a2-a=2c+2b②

，
由①+②并解得：c=

a2+3

4

；
由②-①并解得：b=

a2-2a-3

4

．
∵b＞0，即

a2-2a-3

4

＞0，
解得：a＞3或 a＜-1（舍去）；
∵c-a=

a2-4a+3

4

=

(a-3)(a-1)

4

，且a＞3，
∴c-a＞0，c＞a；由（2）知c＞b，
∴AB是的△ABC最大邊．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了三角形的三邊關(guān)系及其應(yīng)用問(wèn)題；同時(shí)還滲透了對(duì)一元二次不等式等重要代數(shù)知識(shí)的考查；解題的關(guān)鍵是深入分析式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，大膽猜測(cè)推理，科學(xué)求解論證；對(duì)求解變形能力、綜合運(yùn)用能力等均提出了較高的要求．