【題目】如圖,已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點,點P在線段OA上,從點A以1個單位/秒的速度勻速運動;同時,點Q在線段AB上,從點A出發(fā),向點B以 個單位/秒的速度勻速運動,連接PQ,設運動時間為t秒.

(1)求拋物線的解析式;
(2)當t為何值時,△APQ為直角三角形;
(3)過點P作PE∥y軸,交AB于點E,過點Q作QF∥y軸,交拋物線于點F,連接EF,當EF∥PQ時,求點F的坐標.

【答案】
(1)

解:∵y=﹣x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,

∴當y=0時,x=3,即A點坐標為(3,0),當x=0時,y=3,即B點坐標為(0,3).

∵將A(3,0),B(0,3)代入得: ,解得 ,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.


(2)

解:∵OA=OB=3,∠BOA=90°,

∴∠QAP=45°.

如圖①所示:∠PQA=90°時.

設運動時間為t秒,則QA= t,PA=3﹣t.

在Rt△PQA中, ,即

解得:t=1.

如圖②所示:∠QPA=90°時.

設運動時間為t秒,則QA= t,PA=3﹣t.

在Rt△PQA中, = ,即

解得:t=

綜上所述,當t=1或t= 時,△PQA是直角三角形.


(3)

解:如圖③所示:

設點P的坐標為(t,0),則點E的坐標為(t,﹣t+3),則EP=3﹣t.點Q的坐標為(3﹣t,t),點F的坐標為(3﹣t,﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3),即F(3﹣t,4t﹣t2),則FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2

∵EP∥FQ,EF∥PQ,

∴四邊形EFQP為平行四邊形.

∴EP=FQ,即3﹣t=3t﹣t2

解得:t1=1,t2=3(舍去).

將t=1代入得點F的坐標為(2,3).


【解析】(1)先求得直線AB與x軸、y軸的交點坐標,然后將點A、點B的坐標代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組求得b、c的值從而可得到拋物線的解析式;(2)由點A、B的坐標可知OB=OA,從而可求得∠BAO=45°,然后分為∠PQA=90°和∠QPA=90°兩種情況求解即可;(3)由題意可知:EP∥FQ,EF∥PQ,故此四邊形EFQP為平行四邊形,從而得到PE=FQ,然后設點P的坐標為(t,0)則可表示出點Q、E、F的坐標,從而可求得PE、FQ的長,最后根據(jù)PE=FQ列方程求解即可.

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∴∠3=∠4(

∴________∥_______ (

∴∠C=∠ABD

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∴∠D=∠ABD

DFAC

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