Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的解析式為y=

3

3

x，關(guān)于x的一元二次方程2x²-2（m+2）x+（2m+5）=0（m＞0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）試求出m的值，并求出經(jīng)過點(diǎn)A（0，-m）和D（m，0）的直線解析式；
（2）在線段AD上順次取兩點(diǎn)B、C，使AB=CD=

3

-1，試判斷△OBC的形狀；
（3）設(shè)直線l與直線AD交于點(diǎn)P，圖中是否存在與△OAB相似的三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意得△=0得出m值，然后可求出點(diǎn)A，D的坐標(biāo)，設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求得解析式；
（2）作OE⊥AD于E，利用勾股定理求出AD，繼而求出OE的長(zhǎng)．然后根據(jù)三角函數(shù)證明△OBC為等邊三角形；
（3）利用相似三角形的判定可知道存在與△OAB相似的三角形．

解答：解：（1）由題意得△=[-2（m+2）]²-4×2×（2m+5）=0，
∴m=±

6

，
∵m＞0，
∴m=

6

，
∴點(diǎn)A（0，-

6

）、D（

6

，0），
設(shè)經(jīng)過A、D兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b，
則

b=- 6 0= 6 k+b

，
解得

k=1 b=- 6

，
∴y=x-

6

；

（2）作OE⊥AD于E，
由（1）得OA=OD=

6

，
∴AD=

OA2+OD2

=2

3

，
∴OE=AE=ED=

1

2

AD=

3

，
∵AB=CD=

3

-1，
∴BE=EC=1，
∴OB=OC，
在Rt△OBE中，tan∠OBE=

OE

BE

=

3

，
∴∠OBC=60°，
∴△OBC為等邊三角形；

（3）存在，△ODC、△OPC、△PAO．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定定理，一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)．