Question

如圖，已知AB、AC是⊙O的弦，AD平分∠BAC交⊙O于D，弦DE∥AB交AC于P，求證：OP平分∠APD．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的認(rèn)識(shí),平行線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：作OM⊥AC于M，ON⊥DE于N，如圖，由∠BAD=∠CAD，根據(jù)圓周角定理得CD弧=BD弧，由DE∥AB得∠ADE=∠BAD，得到AE弧=BD弧，所以AE弧=CD弧，則AC弧=ED弧，根據(jù)圓心角、弦、弧的關(guān)系得到AC=DE，然后根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)應(yīng)的弦心距相等得到OM=ON，再根據(jù)角平分線定理的逆定理可判斷
OP平分∠APD．

解答：證明：作OM⊥AC于M，ON⊥DE于N，如圖，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CD弧=BD弧，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴AE弧=BD弧，
∴AE弧=CD弧，
∴AE弧+EC弧=EC弧+CD弧，即AC弧=ED弧，
∴AC=DE，
∴OM=ON，
∴OP平分∠APD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．可以利用角平分線定理的逆定理證明角的平分線．