Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)中，M是x軸正半軸上一點(diǎn)，⊙M與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，A在B的左側(cè)，且OA、OB的長是方程x²-4x+3=0的兩根，ON是⊙M的切線，N為切點(diǎn)，N在第四象限．
（1）求⊙M的直徑；
（2）求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）在x軸上存在點(diǎn)T，使△OTN是等腰三角形，請直接寫出T的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）解方程x²-4x+3=0即可得出OA，OB的長，OB減OA就是圓的直徑，
（2）連接MN，作ND⊥x軸，運(yùn)用勾股定理求出ON的長，利用直角三角形中30°的角求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（3）T的坐標(biāo)要分四種情況①當(dāng)OT=TN時(shí)，②當(dāng)OT=ON時(shí)，③當(dāng)ON=TN時(shí)④當(dāng)OT=ON時(shí)，且在x軸的負(fù)半軸，分別利用△OTN是等腰三角形求出點(diǎn)T的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²-4x+3=0得x₁=1，x₂=3，
∵OA、OB的長是方程x²-4x+3=0的兩根，
∴OA=1，OB=3，
∴⊙M的直徑=OB-OA=3-1=2；
（2）如圖1，連接MN，作ND⊥x軸，

由（1）可知⊙M的直徑為2，
∴MN=1，
∵OA=1，
∴OM=1+1=2，
∴ON=

OM2-MN2

=

22-1

=

3

，
∵sin∠MON=

MN

OM

=

1

2

，
∴∠sin∠MON=30°，
∴DN=

1

2

ON=

3

2

，OD=

3

DN=

3

2

，
∵N在第四象限．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)（

3

2

，-

3

2

）；
（3）①如圖2，當(dāng)OT=TN時(shí)，

設(shè)T的坐標(biāo)為（m，0），
∵TN=

( 3 2 -m)2+( 3 2 )2

∴OT²=TN²，即m²=（

3

2

-m）²+

3

4

，
解得m=1，
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（1，0）．
②如圖3，當(dāng)OT=ON時(shí)，

∵ON=

3

，
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（

3

，0），
③如圖4，當(dāng)ON=TN時(shí)

設(shè)T的坐標(biāo)為（m，0），
∵TN=

( 3 2 -m)2+( 3 2 )2

∴ON²=TN²，即（

3

）²=（

3

2

-m）²+

3

4

，
解得m=3，m=0（舍去），
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（3，0）．
④如圖5，當(dāng)OT=ON時(shí)，且在x軸的負(fù)半軸，

∵ON=

3

，
∴OT=

3

∵T在x軸的負(fù)半軸，
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（-

3

，0）
∴△OTN是等腰三角形，點(diǎn)T的坐標(biāo)為：（1，0），（

3

，0），（3，0）或（-

3

，0）．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的綜合題，涉及一元二次方程，勾股定理及圓的知識，第三問是難點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是分四種情況討論得出T的坐標(biāo)．