Question

已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點O，點M、N分別是線段AD、BE的中點．
（1）求證：AD=BE；
（2）求證：△MNC是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CAD=∠CBE，再根據(jù)中點定義求出AM=BN，然后利用“邊角邊”證明△ACM和△BCN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CM=CN，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACM=∠BCN，然后求出∠MCN=∠ACB=60°，從而得證．

解答：證明：（1）∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACB+∠BCD=∠ACD，
∠DCE+∠BCD=∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；

（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵點M、N分別是線段AD、BE的中點，AD=BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中，

AC=BC ∠CAD=∠CBE AM=BN

，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
∴∠MCN=∠BCM+∠BCN=∠BCM+∠ACM=∠ACB=60°，
∴△MNC是等邊三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識圖找出全等的條件是解題的關(guān)鍵．