【題目】四邊形是矩形,點(diǎn)在邊上,,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱,連接

1)如圖,若四邊形是正方形,求的度數(shù);

2)連接,設(shè)探究當(dāng)ab的數(shù)量關(guān)系.

【答案】115°;(2ab ab

【解析】

1)連接DG,交AP于點(diǎn)E,連接AG,根據(jù)對稱的性質(zhì)和正方形的性質(zhì),可以求到AGAB,∠GAB30°,再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求得答案;

(2)連接DGAG,先判斷△ADG是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)推到△GAB≌△GDC;當(dāng)∠CGB120°時,點(diǎn)G可能在矩形ABCD的內(nèi)部或外部,所以這里需要分兩種情況,分別畫圖求解即可.

1)解:連接DG,交AP于點(diǎn)E,連接AG

∵點(diǎn)G與點(diǎn)D關(guān)于直線AP對稱,

AP垂直平分DG,

ADAG.

∵在△ADG中,ADAG,AEDG

∴∠PAG=∠PAD30°

又∵在正方形ABCD中,ADAB,∠DAB=∠ABC90°

AGAB,∠GAB=∠DAB-∠PAD-∠PAG30°,

∴在△GAB中,∠ABG=∠AGB75°

∴∠GBC=∠ABC-∠ABG15°

2)解:連接DG,AG,

由(1)可知,在△ADG中,ADAG

DAG=∠PAD+∠PAG60°,

∴△ADG是等邊三角形,

DGAGAD,∠DAG=∠ADG=∠DGA60°,

又∵ 在矩形ABCD中,ABDC,∠DAB=∠ADC=∠ABC90°,

∴∠DAB-∠DAG=∠ADC-∠ADG,

即∠GAB=∠GDC30°

∴△GAB≌△GDC,

GBGC;

當(dāng)∠CGB120°時,點(diǎn)G可能在矩形ABCD的內(nèi)部或外部,

若點(diǎn)G在矩形ABCD的內(nèi)部,

∵在△BGC中,GBGC,∠CGB120°,

∴∠GBC=30°

∴∠GBA=∠ABC-∠GBC90°30°60°,

在△ABG中,∠AGB180°-∠GAB-∠GBA90°,

∴在RtABG中,cosGAB,

ab

若點(diǎn)G在矩形ABCD的外部,

在△BGC中,∠GBC30°,

∴∠ABG120°,

又∵∠GAB30°

∴∠AGB180°30°120°30°,

BABG

過點(diǎn)BBHAG,垂足為H

AHAGb,

RtABH中,∠AHB90°,∠HAB30°,

cosHAB,

ab,

RtADP中,∠ADP90°,∠PAD30°,

tanPAD,

DPb

所以無論點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部還是點(diǎn)G在矩形ABCD外部,都有DP≤DC,均符合題意;

綜上,當(dāng)∠CGB120°ab的數(shù)量關(guān)系為ab ab

練習(xí)冊系列答案
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1)求拋物線的解析式;

2)求PE的長最大時m的值.

3Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn),在(2)的情況下,以P、QC、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形是否存在?若存在,請直接寫出存在 個滿足題意的點(diǎn).

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2)探究問題:如圖②,若E是線段AC上任意一點(diǎn),連接EF,其他條件不變,猜想線段BEEF的數(shù)量關(guān)系是什么?請證明你的猜想

3)解決問題:如圖③,若E是線段AC延長線上任意一點(diǎn),其他條件不變,且∠EBC=30°AB=3請直接寫出AF的長度

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A.B.3C.D.23

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A.①②B.①③⑤C.①④D.①④⑤

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