如圖,已知拋物線C1:y=a(x-2)2-5的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-1.
(1)
求p點(diǎn)坐標(biāo)及a的值;(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關(guān)于
x軸對(duì)稱,將拋物線C2向左平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱時(shí),求C3的解析式y(tǒng)=a(x-h(huán))2+k;(3)如圖(2),點(diǎn)Q是
x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn),將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點(diǎn)為N,與x軸相交于E、F兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),當(dāng)以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),求頂點(diǎn)N的坐標(biāo).解:(1)由
拋物線C1:得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,5) 1分∵點(diǎn)A(-1,0)在
拋物線C1上∴ 2分(2)連接PM,作PH⊥x軸于H,作MG⊥x軸于G.
∵
點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱,∴PM過(guò)點(diǎn)A,且PA=MA.
∴△PAH≌△MAG.
∴MG=PH=5,AG=AH=3.
∴
頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,5) 3分∵
拋物線C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱,拋物線C3由C2平移得到∴
拋物線C3的表達(dá)式 4分(3)∵
拋物線C4由C1繞x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到∴
頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱.由(2)得點(diǎn)
N的縱坐標(biāo)為5.設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(m,5),作PH⊥x軸于H,作NG⊥x軸于G,作PR⊥NG于R.
∵
旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上,∴EF=AB=2AH=6.
∴EG=3,點(diǎn)E坐標(biāo)為(
,0),H坐標(biāo)為(2,0),R坐標(biāo)為(m,-5).根據(jù)勾股定理,得
、佼(dāng)∠PNE=90°時(shí),PN2+NE2=PE2,
解得m=,∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(,5)
、诋(dāng)∠PEN=90°時(shí),PE2+NE2=PN2,
解得m=,∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(,5).
、邸逷N>NR=10>NE,∴∠NPE≠90° 7分
綜上所得,當(dāng)N點(diǎn)坐標(biāo)為(,5)或(,5)時(shí),
以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形 8分說(shuō)明:點(diǎn)N的坐標(biāo)都求正確給8分,不討論③不扣分
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