Question

將一副三角板如圖放置，D為BC的中點，將三角板MDN的直角頂點放在點D處，三角板的兩邊與AB，AC分別交于點E、F，當(dāng)三角板MDN繞點D旋轉(zhuǎn)時，且旋轉(zhuǎn)過程中使點E不與A、B重合．
（1）請你說明△DEF一定為等腰直角三角形；
（2）證明點E、F到線段BC的距離之和為定值．

Answer 1

分析：（1）連接AD，由于△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠B=∠C=45°，∠EAD=45°，AD=DC，AD⊥BC，利用“AAS”易證得△EDA≌△FDC，則ED=FD，于是可判斷△DEF一定為等腰直角三角形；
（2）過點E、F分別作BC的垂線交BC于點G、H，利用“AAS”易證得△EDG≌△FDH（AAS），得到GD=FH，而△BEG是等腰直角三角形，則EG=BG，所以EG+FH=BG+DG=BD=

1

2

AB．

解答：（1）解：連接AD，如圖，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，∠EAD=45°，AD=DC，AD⊥BC，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△EDA和△FDC中，

∠EAD=∠C ∠EDA=∠FDC AD=CD

，
∴△EDA≌△FDC（AAS），
∴ED=FD，
∴△EDF是等腰直角三角形；

（2）證明：過點E、F分別作BC的垂線交BC于點G、H，如圖，
∵∠FDH=∠ADE，
又∵∠EGD=∠ADC=90°，
∴EG∥AD，
∴∠GED=∠ADE，
∴∠FDH=∠GED，
在△EDG和△FDH中，

∠GED=∠HDF ∠EGD=∠FHD=90° ED=FD

，
∴△EDG≌△FDH（AAS），
∴GD=FH，
又∵△BEG是等腰直角三角形，
∴EG=BG，
∴EG+FH=BG+DG=BD，
∴點E、F到BC的距離之和為定值，是△ABC斜邊長的一半．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．