Question

閱讀下列材料：
如圖1，⊙O₁和⊙O₂外切于點(diǎn)C，AB是⊙O₁和⊙O₂外公切線，A、B為切點(diǎn)，
求證：AC⊥BC
證明：過點(diǎn)C作⊙O₁和⊙O₂的內(nèi)公切線交AB于D，
∵DA、DC是⊙O₁的切線
∴DA=DC．
∴∠DAC=∠DCA．
同理∠DCB=∠DBC．
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，
∴∠DCA+∠DCB=90°．
即AC⊥BC．
根據(jù)上述材料，解答下列問題：
（1）在以上的證明過程中使用了哪些定理？請寫出兩個定理的名稱或內(nèi)容；
（2）以AB所在直線為x軸，過點(diǎn)C且垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖2），已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0），（1，0），求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)（2）中所確定的拋物線，試判斷這條拋物線的頂點(diǎn)是否落在兩圓的連心O₁O₂上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由切線長相等可知用了切線長定理；由三角形的內(nèi)角和是180°，可知用了三角形內(nèi)角和定理；
（2）先根據(jù)勾股定理求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式；
（3）過C作兩圓的公切線，交AB于點(diǎn)D，由切線長定理可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出過C，D兩點(diǎn)直線的解析式，根據(jù)過一點(diǎn)且互相垂直的兩條直線解析式的關(guān)系可求出過兩圓圓心的直線解析式，再把拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式看是否適合即可．

解答：解：（1）DA、DC是⊙O₁的切線，
∴DA=DC．應(yīng)用的是切線長定理；
∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，應(yīng)用的是三角形內(nèi)角和定理．

（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），則AB²=AC²+BC²，
即（|-4-1|）²=（-4）²+y²+1²+y²，
即25=17+2y²，解得y=2（舍去）或y=-2．
故C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
則

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=-2

，
解得

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

，
故所求二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（3）過C作兩圓的公切線CD交AB于D，則AD=BD=CD，由A（-4，0），B（1，0）可知D（-

3

2

，0），
設(shè)過CD兩點(diǎn)的直線為y=kx+b，則

- 3 2 k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 4 3 b=-2

，
故此一次函數(shù)的解析式為y=-

4

3

x-2，
∵過O₁，O₂的直線必過C點(diǎn)且與直線y=-

4

3

x-2垂直，
故過O₁，O₂的直線的解析式為y=-

3

4

x-2．
由（2）中所求拋物線的解析式可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，-

25

8

），
代入直線解析式得-

3

4

×

3

2

-2=-

25

8

，故這條拋物線的頂點(diǎn)落在兩圓的連心O₁O₂上．

點(diǎn)評：此題是一道材料分析題．解答時要閱讀材料，獲得解題思路，并根據(jù)兩圓外切的條件作出輔助線，結(jié)合拋物線和直線的性質(zhì)解答．