Question

【題目】如圖，長方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，OC在y軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)B（1，4）和點(diǎn)E（3，0）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D在線段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在條件（2）下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使得△BDM的周長為最小，并求△BDM周長的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（4）在條件（2）下，從B點(diǎn)到E點(diǎn)這段拋物線的圖象上，是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使得△PAD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出△PAD面積的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點(diǎn)B（1，4），E（3，0）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得： ，

解得： ，

拋物線的解析式為y=﹣2x2+6x

（2）解：如圖1所示；

∵BD⊥DE，

∴∠BDE=90°．

∴∠BDC+∠EDO=90°．

又∵∠ODE+∠DEO=90°，

∴∠BDC=∠DE0．

在△BDC和△DOE中， ，

∴△BDC≌△DEO．

∴OD=AO=1．

∴D（0，1）

（3）解：如圖2所示：作點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)M．

∵x=﹣ = ，

∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（2，4）．

∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于x= 對(duì)稱，

∴MB=B′M．

∴DM+MB=DM+MB′．

∴當(dāng)點(diǎn)D、M、B′在一條直線上時(shí)，MD+MB有最小值（即△BMD的周長有最小值）．

∵由兩點(diǎn)間的距離公式可知：BD= = ，DB′= = ，

∴△BDM的最小值= + ．

設(shè)直線B′D的解析式為y=kx+b．

將點(diǎn)D、B′的坐標(biāo)代入得： ，

解得：k= ，b=1．

∴直線DB′的解析式為y= x+1．

將x= 代入得：y= ．

∴M（ ， ）

（4）解：如圖3所示：過點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G．

設(shè)點(diǎn)P（a，﹣2a2+6a），則OG=a，PG=﹣2a2+6a．

∵S梯形DOGP= （OD+PG）OG= （﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+ a，S△ODA= ODOA= ×1×1= ，S△AGP= AGPG=﹣a3+4a2﹣3a，

∴S△PDA=S梯形DOGP﹣S△ODA﹣S△AGP=﹣a2+ a﹣ ．

∴當(dāng)a= 時(shí)，S△PDA的最大值為 ．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ）

【解析】（1）將點(diǎn)B（1，4），E（3，0）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得到關(guān)于a、b的方程組，求得a、b的值，從而可得到拋物線的解析式；（2）依據(jù)同角的余角相等證明∠BDC=∠DE0，然后再依據(jù)AAS證明△BDC≌△DEO，從而得到OD=AO=1，于是可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）作點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)M．先求得拋物線的對(duì)稱軸方程，從而得到點(diǎn)B′的坐標(biāo)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)D、M、B′在一條直線上時(shí)，△BMD的周長有最小值，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得BD和B′D的長度，從而得到三角形的周長最小值，然后依據(jù)待定系數(shù)法求得D、B′的解析式，然后將點(diǎn)M的橫坐標(biāo)代入可求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；（4）過點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G．設(shè)點(diǎn)F（a，﹣2a2+6a），則OG=a，F(xiàn)G=﹣2a2+6a．然后依據(jù)S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF的三角形的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．