Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O，且與x軸、y軸分別相交于A（-8，0）、B（0，-6）兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y=a（x+m）²+n圖象的頂點(diǎn)C在⊙M上，且經(jīng)過點(diǎn)B，圓心M在其對(duì)稱軸上．求此二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）首先連接AB，利用圓周角定理得出AB是直徑，利用M是AB中點(diǎn)以及A，B坐標(biāo)即可得出M點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)已知得出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用頂點(diǎn)式與B點(diǎn)坐標(biāo)得出拋物線解析即可．

解答：解：（1）連接AB，過點(diǎn)M作MN⊥AO于點(diǎn)N，過點(diǎn)M作MD⊥BO于點(diǎn)D，
∵⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O，且與x軸、y軸分別相交于A（-8，0）、B（0，-6）兩點(diǎn)，
∴AB是⊙M的直徑，
∴AB=

82+62

=10，
∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，
∴M的坐標(biāo)為：（-4，-3）；

（2）延長NM到⊙M上一點(diǎn)C，
∵二次函數(shù)y=a（x+m）²+n圖象的頂點(diǎn)C在⊙M上，圓心M在其對(duì)稱軸上，AB=10，
∴MC=5，則NC=8，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)即為（-4，-8）或（-4，2），
將（-4，-8）代入y=a（x+m）²+n得，
y=a（x+4）²-8，
∵圖象經(jīng)過點(diǎn)B，故-6=a（0+4）²-8，
解得：a=

1

8

．
故二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=

1

8

（x+4）²-8．
將（-4，2）代入y=a（x+m）²+n得，
y=a（x+4）²+2，
∵圖象經(jīng)過點(diǎn)B，故-6=a（0+4）²+2，
解得：a=-

1

2

．
故二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=-

1

2

（x+4）²+2．
綜上可得：二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=

1

8

（x+4）²-8或y=-

1

2

（x+4）²+2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及圓周角定理和垂徑定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．