Question

如圖，在平面坐標系中，點A、點B分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA=OB，另有兩點C(a,b)和D(b,-a)（a、b均大于0）；

(1)連接OD、CD，求證：∠ODC=450；

(2)連接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度數(shù)；

(3)若a=b，在線段OA上有一點E，且AE=3，CE=5，AC=7，求⊿OCA的面積。

 

Answer 1

(1)證明見解析；（2）135°；（3）.

【解析】

試題分析：（1）過C點、D點向x軸、y軸作垂線，運用勾股定理計算，結(jié)合全等可證；

（2）連接DA，證△OCB≌△ODA（SAS），可得AD=CB=1，而OC=OD=2，故CD=2，根據(jù)勾股定理逆定理可證∠ADC=90°，易得∠OCB=∠ODA=135°；

（3）作CF⊥OA，F(xiàn)為垂足，有CF2=CE2-EF2，CF2=CA2-AF2=CA2-（AE+EF）2，設(shè)EF=x，列出關(guān)于x的方程，求得x=，再在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理求得CF=，然后由三角形的面積公式即可求解．

試題解析：（1）證明：過C點、D點向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M、N．

∵C（a，b），D（b，-a）（a、b均大于0），

∴OM=ON=a，CM=DN=b，

∴△OCM≌△ODN（SAS），

∴∠COM=∠DON．

∵∠DON+∠MOD=90°，

∴∠COM+∠MOD=90°，

∵OC=OD=，

∴△COD是等腰直角三角形，

∴∠ODC=45°；

（2）連接DA．

在△OCB與△ODA中，

，

∴△OCB≌△ODA（SAS），

∴AD=CB=1，∠OCB=∠ODA．

∵OC=OD=2，

∴CD=2．

∵AD2+CD2=1+8=9，AC2=9，

∴AD2+CD2=AC2，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCB=∠ODA=90°+45°=135°；

（3）作CF⊥OA，F(xiàn)為垂足，由勾股定理得

CF2=CE2-EF2，CF2=CA2-AF2=CA2-（AE+EF）2，

設(shè)EF=x，可得52-x2=72-（3+x）2，

解得x=．

在Rt△CEF中，得CF=，

∴OF=CF=，

∴△OCA的面積=•OA•CF==.

考點: 1.勾股定理；2.全等三角形的判定與性質(zhì)．