Question

23、如圖，已知⊙O的弦AB垂直于直徑CD，垂足為F，連接CA、CB．
（1）求證：∠CAB=∠CBA；
（2）在AB上有一點E，延長EC到點P，連接PB，若EA=EC，PB=PE，求證：PB是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）可通過證明邊相等來得出角相等，根據垂徑定理不難得出，CD是AB的垂直平分線，那么BC=AB就能得出結論；
（2）連接OB然后證垂直，可根據線段相等得出角相等，然后將相等的角進行轉換從而得到使∠OBP=90°的目的．

解答：證明：（1）∵CD是圓O的直徑，CD⊥AB，
∴BC=AC．
∴BC=AC．
∴∠CBA=∠CAB．

（2）連接OB，
∵EC=EA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠PEB=2∠EAC．
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB．
∴∠PBE=2∠BAC．
∴∠PBE=2∠CBA．
∴∠PBC=∠CBF．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∵∠CBA+∠BCP=90°，
∴∠PBC+∠OBC=90°．
即OB⊥PB，
∵點B在圓上，
∴PB是圓O的切線．

點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．