Question

（1）如圖1，線段AB、DG交于點(diǎn)A，BC與DG交于點(diǎn)E，CG∥AB，作∠EDF=∠BAE，DF分別交BC、CG于點(diǎn)H、F，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)．如果E為BC中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄烤�段AB與DF、CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）如圖2，在（1）中的其他條件不變的情況下，如果點(diǎn)E滿足BE：EC=1：2，且若AB=4，CF=2，求DF的長(zhǎng)度．

Answer 1

解：（1）AB=DF+CF．理由如下：
∵AB∥CG，
∴△ABE～△GCE
∵BE=EC，
∴△ABE≌△GCE
∴AB=CG．
∵AB∥CG，∴∠BAE=∠G
又∠BAE=∠EDF，∴∠EDF=∠G，
∴DF=GF，
∴AB=BC=GF+CF=DF+CF，即AB=DF+CF；

（2）由（1）知：△ABE～△GCE，則．
∵BE：EC=1：2，
∴，CG=2×4=8．
∵CG=GF+CF=DF+CF，∴8=DF+2，
∴DF=6．
分析：（1）易證△ABE～△GCE．又由“E為BC中點(diǎn)”可以判定BE=EC，則△ABE≌△GCE，所以該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AB=CG．結(jié)合平行線的性質(zhì)易證∠EDF=∠G，所以“等角對(duì)等邊”得到DF=GF，則AB=BC=GF+CF=DF+CF，即AB=DF+CF；
（2）由（1）中的相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例知：，則易求，即CG=2×4=8．結(jié)合圖形得到CG=GF+CF=DF+CF，所以DF=6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等．本題是通過平行線來判定相似三角形的．