Question

如圖，拋物線y = ax² + bx + 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．E（1，2）為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在直線EF上求一點(diǎn)H，使△CDH的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，
△EFK的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

（1）   頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－1，）
（2）H（，）
（3）K（－，）

解析（1）由題意，得 解得，b =－1．
所以拋物線的解析式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－1，）．
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M．因?yàn)?i>EF垂直平分BC，即C關(guān)于直線EG的對(duì)稱點(diǎn)為B，連結(jié)BD交于EF于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H，使DH + CH最小，即最小為
DH + CH = DH + HB = BD =．而．
∴△CDH的周長(zhǎng)最小值為CD + DR + CH =．
設(shè)直線BD的解析式為y = k₁x + b，則  解得，b₁ = 3．
所以直線BD的解析式為y =x + 3．
由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，
得CE:CO = CG:CB，所以CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．
同理可求得直線EF的解析式為y =x +．
聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使△CDH的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)H（，）．
（3）設(shè)K（t，），x_F＜t＜x_E．過(guò)K作x軸的垂線交EF于N．
則KN = y_K－y_N =－（t +）=．
所以S_△EFK= S_△KFN + S_△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t²－3t + 5 =－（t +）² +．
即當(dāng)t =－時(shí)，△EFK的面積最大，最大面積為，此時(shí)K（－，）．