Question

如圖，已知矩形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸，y軸的正半軸上，且點(diǎn)B（4，3），反比例函數(shù)y=

k

x

圖象與BC交于點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E，其中D（1，3）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式及E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若矩形OABC對角線的交點(diǎn)為F，請判斷點(diǎn)F是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．
（3）若AD與BO的交點(diǎn)為Q，請判斷點(diǎn)Q是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）把已知點(diǎn)代入反比例函數(shù)的解析式，求出其解析式；再進(jìn)一步把x=4代入，從而求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）利用矩形及相似三角形的性質(zhì)，判斷出F點(diǎn)與反比例函數(shù)圖象的關(guān)系．
（3）分別求直線BO與AD解析式，求出交點(diǎn)即可．

解答：解：（1）把D（1，3）代入y=

k

x

，得3=

k

1

，
∴k=3．
∴y=

3

x

．
∴當(dāng)x=4時(shí)，y=

3

4

，
∴E（4，

3

4

）．

（2）點(diǎn)F在反比例函數(shù)的圖象上．
理由如下：
連接AC，OB交于點(diǎn)F，過F作FH⊥x軸于H．
∵四邊形OABC是矩形，
∴OF=FB=

1

2

OB．
又∵∠FHO=∠BAO=90°，∠FOH=∠BOA，
∴△OFH∽△OBA．
∴

OH

OA

=

FH

BA

=

OF

OB

=

1

2

，
∴OH=2，F(xiàn)H=

3

2

．
∴F（2，

3

2

）．
即當(dāng)x=2時(shí)，y=

3

x

=

3

2

，
∴點(diǎn)F在反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象上．

（3）直線OB與AD所在直線分別為：
y=kx，圖象過（4，3）點(diǎn)，∴y=

3

4

x，
y=ax+b．過點(diǎn)（4，0），（1，3），
∴

a+b=3 4a+b=0

，
解得：

a=-1 b=4

，
∴y=-x+4，

y= 3 4 x y=-x+4

，
解得：x=

16

7

，y=

12

7

，
代入解析式：
當(dāng)x=

16

7

時(shí)，y=

3

x

=

21

16

，
∴（

16

7

，

12

7

）不在此反比例函數(shù)的圖象上．

點(diǎn)評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，此題比較復(fù)雜，把反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)相結(jié)合，考查了學(xué)生對所學(xué)知識的綜合運(yùn)用能力．