Question

已知函數(shù)y=x²-mx+m-2．
（1）求證：不論m為何實(shí)數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個不同交點(diǎn)；
（2）若函數(shù)y有最小值-

5

4

，求函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)的最值

專題：證明題

分析：（1）先計(jì)算判別式的值得到△=m²-4m+8，然后配方得△=（m-2）²+4，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得△＞0，于是根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得到

4(m-2)-m2

4

=-

5

4

，解方程得m₁=1，m₂=3，然后把m的值分別代入原解析式即可．

解答：（1）證明：y=x²-mx+m-2，
△=（-m）²-4（m-2）
=m²-4m+8
=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，即△＞0，
∴不論m為何實(shí)數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個不同交點(diǎn)；
（2）

4(m-2)-m2

4

=-

5

4

，
整理得m²-4m+3=0，
解得m₁=1，m₂=3，
當(dāng)m=1時，函數(shù)解析式為y=x²-x-1；
當(dāng)m=3時，函數(shù)解析式為y=x²-3x+1．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．
（1）二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．也考查了二次函數(shù)的最值問題．