【題目】感知:如圖①,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠APD=90°時(shí),可知△ABP∽△PCD.(不要求證明)
探究:如圖②,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠B=∠C=∠APD時(shí),求證:△ABP∽△PCD.
拓展:如圖③,在△ABC中,點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=6,CE=4,則DE的長(zhǎng)為 .
【答案】感知:見解析;探究:證明見解析;拓展: .
【解析】
感知:先判斷出,∠BAP=∠DPC,進(jìn)而得出結(jié)論;
探究:同理根據(jù)兩角相等相等,兩三角形相似,進(jìn)而得出結(jié)論;
拓展:利用相似三角形△BDP∽△CPE得出比例式求出BD,三角形內(nèi)角和定理證得AC⊥AB且AC=AB;然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC=AB=6;最后利用在直角△ADE中利用勾股定理來(lái)求DE的長(zhǎng)度.
感知:∵∠APD=90°,
∴∠APB+∠DPC=90°,
∵∠B=90°,
∴∠APB+∠BAP=90°,
∴∠BAP=∠DPC,
∵AB∥CD,∠B=90°,
∴∠C=∠B=90°,
∴△ABP∽△DCP.
探究:∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠CPD,
∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD.
∵∠B=∠APD,
∴∠BAP=∠CPD.
∵∠B=∠C,
∴△ABP∽△PCD,
拓展:同探究的方法得出,△BDP∽△CPE,
∴,
∵點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn),
∴BP=CP=3,
∵CE=4,
∴,
∴BD=,
∵∠B=∠C=45°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°,
即AC⊥AB且AC=AB=6,
∴AD=AB﹣BD=6﹣=,AE=AC﹣CE=6﹣4=2,
在Rt△ADE中,DE=.
故答案是:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1.
(1)畫出△ABC關(guān)于直線1對(duì)稱的圖形△;
(2)在直線l上找一點(diǎn)P,使PB=PC;(要求在直線1上標(biāo)出點(diǎn)P的位置)
(3)在直線l上找一點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q到點(diǎn)B與點(diǎn)C的距離之和最小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列說(shuō)法,其中正確的是( )
①關(guān)于的一元二次方程,若,則方程一定沒有實(shí)數(shù)根;
②關(guān)于的一元二次方程,若,則方程必有實(shí)數(shù)根;
③若是方程的根,則;
④若,,為三角形三邊,方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,則該三角形為直角三角形.
A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,,,點(diǎn)從開始沿折線以的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)從開始沿邊以的速度移動(dòng),如果點(diǎn)、分別從、同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,當(dāng)________時(shí),四邊形也為矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上,頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面積是6,那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(D與B、C均不重合),AD=AE,∠DAE=60°,連接CE.
(1)求證:△ABD≌△ACE;
(2)求證:CE平分∠ACF;
(3)若AB=2,當(dāng)四邊形ADCE的周長(zhǎng)取最小值時(shí),求BD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不同于A、B、C),若點(diǎn)P與A、B、C中的某兩點(diǎn)的連線的夾角為直角時(shí),則稱點(diǎn)P為△ABC的一個(gè)勾股點(diǎn).
(1)如圖1,若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠A=55°,∠ABP=10°,∠ACP=25°,試說(shuō)明點(diǎn)P是△ABC的一個(gè)勾股點(diǎn);
(2)如圖2,等腰△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線AD上,請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出使得點(diǎn)P是△ABC的勾股點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P的位置;
(3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=16,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P在射線CD上.若點(diǎn)P是△ABC的勾股點(diǎn),請(qǐng)求出CP的長(zhǎng);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,
(1)請(qǐng)你利用直尺和圓規(guī)完成如下操作:
①作△ABC的角平分線AD;
②作邊AB的垂直平分線EF,EF與AD相交于點(diǎn)P;
③連接PB,PC.
請(qǐng)你觀察圖形解答下列問(wèn)題:
(2)線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系是 ;請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若∠ABC=70°,求∠BPC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以速度沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)_______.(用含t的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以的速度沿向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),當(dāng)≌時(shí),求v的值.
(3)在(2)的條件下,求≌時(shí)v的值.
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