Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊上的一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點F．

（1）求證：DE＝FE；

（2）若BC＝9，AD＝6，求BF的長．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）BF=4．

【解析】

試題分析：1）連接OE，易證OE∥BC；由圓的性質(zhì)知點O是BD的中點，則OE是△DBF的中位線；最后根據(jù)中位線的定義證得DE=FE；

（2）易證△AOE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可證得圓的半徑，即可求解．

試題解析：（1）連接OE，BE．

∵∠ACB=90°，AC是⊙O的切線，

∴BC⊥AC，OE⊥AC，

∴OE∥BC；

∵DO=OB，

∴OE是△DBF的中位線，

∴E是DF的中點，

∴DE=EF；

（2）∵OE∥BC，

∴Rt△ABC∽Rt△AOE，

∴；

設(shè)⊙O的半徑是r，則有，

解得r=2，∴BD=4；

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED；

由（1）知OE∥BC，

∴∠OED=∠BFD，

∴∠BDF=∠BFD，

∴BF=BD=4．

考點：圓的綜合題．