Question

如圖，半徑為2的⊙E交x軸于A、B，交y軸于點C、D，直線CF交x軸負半軸于點F，連接EB、EC．已知點E的坐標為(1，1)，∠OFC＝30°．

(1)求證：直線CF是⊙E的切線；(2)求證：AB＝CD；(3)求圖中陰影部分的面積．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）陰影部分的面積為（）．

【解析】

試題分析：（1）首先過點E作EG⊥y軸于點G，由點E的坐標為（1，1），可得EG=1．繼而可求得∠ECG的度數(shù)，又由∠OFC=30°，∠FOC=90°，可求得∠FCE=∠OCF+∠ECG=90°．

（2）首先過點E作EH⊥x軸于點H，易證得Rt△CEG≌Rt△BEH，又由EH⊥AB，EG⊥CD，則可證得AB=CD；

（3）連接OE，可求得OC=+1與∠OEB+∠OEC=210°，繼而可求得陰影部分的面積．

試題解析：（1）過點E作EG⊥y軸于點G，

∵點E的坐標為（1，1），

∴EG=1．

在Rt△CEG中，sin∠ECG=，

∴∠ECG=30°．

∵∠OFC=30°，∠FOC=90°，

∴∠OCF=180°﹣∠FOC﹣∠OFC=60°．

∴∠FCE=∠OCF+∠ECG=90°．

即CF⊥CE．

∴直線CF是⊙E的切線；

（2）過點E作EH⊥x軸于點H，

∵點E的坐標為（1，1），

∴EG=EH=1．

在Rt△CEG與Rt△BEH中，

∵，

∴Rt△CEG≌Rt△BEH（HL）．

∴CG=BH．

∵EH⊥AB，EG⊥CD，

∴AB=2BH，CD=2CG．

∴AB=CD；

（3）連接OE，

在Rt△CEG中，CG=，

∴OC=+1．

同理：OB=+1．

∵OG=EG，∠OGE=90°，

∴∠EOG=∠OEG=45°．

又∵∠OCE=30°，

∴∠OEC=180°﹣∠EOG﹣∠OCE=105°．

同理：∠OEB=105°．

∴∠OEB+∠OEC=210°．

∴S陰影=．

考點：圓的綜合題．