Question

已知邊長為2的等邊△ABC中，點D為BC的中點，動點P在AC上，在△BPD的周長最小的情況下，AP的長度為

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：作點D關(guān)于AC的對稱點D′，連接BD′與AC相交，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，BD′與AC的交點即為所求的點P，連接CD′，求出AB∥CD′，判斷出△ABP和△CD′P相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出

AP

PC

，然后求解即可．

解答：解：如圖，作點D關(guān)于AC的對稱點D′，連接BD′與AC相交，
則BD′與AC的交點即為△BPD的周長最小時的點P，
連接CD′，由軸對稱的性質(zhì)得，∠PCD′=∠ACB=60°，CD′=CD=

1

2

BC=1，
∴∠BCD′=60°×2=120°，
∵∠ABC+∠BCD′=60°+120°=180°，
∴AB∥CD′，
∴△ABP∽△CD′P，
∴

AP

PC

=

AB

CD′

=2，
∴AP=

2

2+1

×2=

4

3

．
故答案為：

4

3

．

點評：本題考查了軸對稱確定最短路線問題，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對稱確定最短路線的方法找出點P的位置是解題的關(guān)鍵．