【題目】已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC與點(diǎn)E、F,垂足為O.
(1)如圖1,連接AF、CE.求證四邊形AFCE為菱形,并求AF的長(zhǎng);
(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周,即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求t的值.
【答案】(1)AF=5cm;(2)t=.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)全等推出OE=OF,得出平行四邊形AFCE,根據(jù)菱形判定推出即可,根據(jù)菱形性質(zhì)得出AF=CF,根據(jù)勾股定理得出方程,求出方程的解即可;
(2)分情況討論可知,當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,
∵AC的垂直平分線EF,
∴OA=OC,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,
∵OA=OC,
∴四邊形AFCE是平行四邊形,
∵EF⊥AC,
∴四邊形AFCE是菱形.
∴AF=FC,
設(shè)AF=xcm,
則CF=xcm,BF=(8﹣x)cm,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
∴在Rt△ABF中,
由勾股定理得:42+(8﹣x)2=x2,
解得x=5,即AF=5cm;
(2)顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí),Q點(diǎn)在CD上,此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;
同理P點(diǎn)在AB上時(shí),Q點(diǎn)在DE或CE上或P在BF,Q在CD時(shí)不構(gòu)成平行四邊形,也不能構(gòu)成平行四邊形.
因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形,
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),PC=QA,
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,
∴PC=5t,QA=12﹣4t,
∴5t=12﹣4t,
解得t=.
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),t=秒.
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