Question

某專賣店專銷某種品牌的電子產(chǎn)品，進(jìn)價(jià)12元/只，售價(jià)20元/只．為了促銷，專賣店決定凡是買10只以上的，每多買一只，售價(jià)就降低0.1元（例如，某人買20只，于是每只降價(jià)0.1×（20-10）=1元，這樣就可以按19元/只的價(jià)格購(gòu)買這20只產(chǎn)品），但是最低價(jià)為16元/只．
（1）若顧客想以最低價(jià)購(gòu)買的話，一次至少要買多少只？
（2）若x表示顧客購(gòu)買該產(chǎn)品的數(shù)量，y表示專賣店獲得的利潤(rùn)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；并求出專賣店一次共獲利潤(rùn)180元時(shí)，該顧客此次所購(gòu)買的產(chǎn)品數(shù)量．
（3）有一天，一位顧客買了46只，另一位顧客買了50只，專賣店發(fā)現(xiàn)賣了50只反而比賣46只賺的錢少．為了使每次賣的多賺錢也多，在其他促銷條件不變的情況下，最低價(jià)16元/只至少要提高到多少元/只？

Answer 1

解：（1）設(shè)需要購(gòu)買x只，
則20-0.1（x-10）=16
得x=50
∴一次至少要購(gòu)買50只
（2）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，y=（20-12）x=8x，即y=8x，
把y=180代入，解得x=22.5（舍去）；
當(dāng)10＜x≤50時(shí)，y=[20-12-0.1（x-10）]x，即y=-0.1x²+9x
把y=180代入，解得x₁=30，x₂=60（舍去）；
當(dāng)x＞50時(shí)，y=（16-12）x，即y=4x
把y=180代入，解得x=45（舍去）．
∴該顧客此次所購(gòu)買的數(shù)量是30只
（3）當(dāng)0＜x≤50時(shí)，y=-0.1x²+9x（10＜x≤50），
當(dāng)時(shí)，y有最大值202.5元；
此時(shí)售價(jià)為20-0.1×（45-10）=16.5（元）
當(dāng)45＜x≤50時(shí)，y隨著x的增大而減小
∴最低價(jià)至少要提高到16.5元/只．
分析：（1）理解促銷方案，正確表示售價(jià)，得方程求解；
（2）因?yàn)樵O(shè)了最低價(jià)，所以超過一定數(shù)量也按最低價(jià)銷售，不再打折，所以需分類討論；
（3）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解釋現(xiàn)象，進(jìn)一步解決問題．
點(diǎn)評(píng)：此題運(yùn)用了函數(shù)的對(duì)稱性討論最大值問題，需考慮自變量的取值范圍．