Question

【題目】如圖①，△ABC中，DC，BD分別是∠ACB和∠ABC的平分線，且∠A=α

（1）用含α的代數(shù)式表示∠CDB；

（2）若把圖①中∠ACB的平分線DC改為∠ACB的外角的平分線（如圖②），怎樣用含α的代數(shù)式表示∠CDB．

（3）若把圖①中“DC，DB分別是∠ACB和∠ABC的平分線”改成“DC，BD分別是∠ACB和∠ABC的外角的平分線”，（如圖③），怎樣用含α的代數(shù)式表示∠CDB．

Answer 1

【答案】（1）90°+；（2）；（3）90°-；

【解析】

(1)利用三角形的內(nèi)角和定理，及角平分線定義；
(2)利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解；
(3)利用三角形的內(nèi)角和定理，及角平分線定義，鄰補(bǔ)角定義．

（1）∵∠A=α，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣α，

∵DC，BD分別是∠ACB和∠ABC的平分線，

∴∠DBC+∠DCB=×（∠ABC+∠ACB）=90°﹣α，

∴∠CDB=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=90°+；

（2）設(shè)BC的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E．

∵∠DCE是△BCD的一個(gè)外角，

∴∠D=∠DCE﹣∠DBC，

同理：∠A=∠ACE﹣∠ABC，

∵CD和BD分別為角平分線，

∴∠DCE=∠ACE，∠DBC=∠ABC，

∴∠CDB=；

（3）∵∠A=α，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣α，

∵DC，BD分別是∠ACB和∠ABC的外角的平分線，

∴∠DBC+∠DCB=×[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]=90°+，

∴∠CDB=CDB=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=90°﹣．