Question

如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD為AC邊的中線，AB₁⊥BD交BC于B₁，B₁A₁⊥AC于A₁．
（1）求AA₁的長；
（2）如圖2，在Rt△A₁B₁C中按上述操作，則AA₂的長為

 

；
（3）在Rt△A₂B₂C中按上述操作，則AA₃的長為

 

；
（4）一直按上述操作得到Rt△A_n-1B_n-1C，則AA_n的長為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等角的余角相等，得∠A₁AB₁=∠ABD，從而根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，證明△A₁AB₁∽△ABD．設(shè)A₁A=x，則A₁B₁=A₁C=3-x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
（2）根據(jù)（1）的求解過程，易知A₁A₂是1的

2

3

，從而求解；
（3）、（4）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論，即可推而廣之．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD為AC邊的中線，
∴AD=

3

2

．
∵在Rt△ABC中，AB₁⊥BD，
∴∠A₁AB₁=∠ABD，
∴△A₁AB₁∽△ABD．
根據(jù)題意，易知△A₁B₁C是等腰直角三角形．
設(shè)A₁A=x，則A₁B₁=A₁C=3-x，
∴

AA1

A1B1

=

AB

AD

，
即

x

3-x

=

3

3 2

，
解得x=2．
即AA₁=2．

（2）根據(jù)（1）的求解過程，得A₁A₂=

2

3

，
則AA₂=

8

3

．

（3）根據(jù)（2）、（3）的結(jié)論，推而廣之，則AA_n=

3n-1

3n-1

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，要求學(xué)生能夠從已知的式子中找出規(guī)律．能夠從特殊到一般推而廣之