Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，∠ABC和∠EAC的平分線交于點(diǎn)D，∠ABD和∠BAD的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB的度數(shù)為_(kāi)_______．

Answer 1

112.5°
分析：根據(jù)角平分線的定義得∠EAC=2∠3，∠ABC=2∠ABD，再根據(jù)外角性質(zhì)有∠3=∠D+∠ABD，∠EAC=∠C+∠ABC，變形后有2∠3=2∠D+2∠ABD=∠C+∠ABC，則∠C=2∠D，而∠C=90°，可計(jì)算出∠D=45°；由∠ABD和∠BAD的平分線交于點(diǎn)F，則∠DAB=2∠FAB，∠ABD=2∠1，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠DAB+∠ABD+∠D=180°，∠FAB+∠1+∠AFB=180°，變形得2∠FAB+2∠1+2∠AFB=360°，代換后得180°-∠D+2∠AFB=360°，即∠AFB=90°+∠D，把∠D=45°代入計(jì)算即可．
解答：如圖，
∵∠ABC和∠EAC的平分線交于點(diǎn)D，
∴∠EAC=2∠3，∠ABC=2∠ABD，
又∵∠3=∠D+∠ABD，∠EAC=∠C+∠ABC，
∴2∠3=2∠D+2∠ABD=∠C+∠ABC，
∴∠C=2∠D，而∠C=90°，
∴∠D=45°，
又∵∠ABD和∠BAD的平分線交于點(diǎn)F，
∴∠DAB=2∠FAB，∠ABD=2∠1，
而∠DAB+∠ABD+∠D=180°，∠FAB+∠1+∠AFB=180°，
∴2∠FAB+2∠1+2∠AFB=360°，
∴∠DAB+∠ABD+2∠AFB=360°，
∴180°-∠D+2∠AFB=360°，
∴∠AFB=90°+∠D，
而∠D=45°，
∴∠AFB=90°+22.5°=112.5°．
故答案為112.5°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．也考查了三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義．