Question

已知函數(shù)y=x²-（m²+4）x-2m²-12．
（1）當m取何值時，此函數(shù)有最小值-

81

4

，求出此時x的值；
（2）求證：不論m取任何實數(shù)，拋物線都過一定點，并求出定點坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的最值,二次函數(shù)圖象上點的坐標特征

專題：

分析：（1）根據(jù)函數(shù)頂點的縱坐標是函數(shù)的最小值，可得關于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值，根據(jù)函數(shù)頂點的坐標公式，可得函數(shù)定點的橫坐標；
（2）根據(jù)因式分解，可得交點式函數(shù)解析式，根據(jù)交點坐標，可得答案．

解答：（1）解：y_最小=

4ac-b2

4a

=

4(-2m2-12)-[-(m2+4)]2

4

=-

81

4

，
m⁴+16m²-17=0
（m²-1）（m²+17）=0
∵m²+17≠0，
∴m=±1，
∴y=x²-5x-14
x=-

b

2a

=-

-5

2

=

5

2

，
當m=±1時，此函數(shù)有最小值-

81

4

，此時x=

5

2

；
（2）證明：∵此函數(shù)可以寫成y=（x+2）•[x-（m²+6）]，
∴函數(shù)與x軸的交點為（-2，0），（m²+6，0），
∴不論m取任何實數(shù)，拋物線都過一定點，定點坐標是（-2，0）．

點評：本題考查了函數(shù)的最值，利用了函數(shù)的頂點的縱坐標是函數(shù)的最小值．