如圖,已知CA、CB都經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AC是⊙B的切線,⊙B交AB于點(diǎn)D,連接CD并延長(zhǎng)交OA于點(diǎn)E,連接AF.
(1)求證:AE⊥AB;
(2)求證:DE•DC=2AD•DB;
(3)如果AE=3,BD=4,求DC的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)根據(jù)切線的性質(zhì)知:∠ACB=90°,由AC=AE,可得∠AEC=∠ACE,由BC=BD,可知∠BCD=∠BDC,再根據(jù)∠BDC=∠ADE,可得AE⊥AB;
(2)根據(jù)△ADE∽△FDB可得出DE•DC=2AD•DB;
(3)在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可將AD的長(zhǎng)求出,代入第二個(gè)小題的結(jié)論,可得出DC的長(zhǎng).
解答:(1)證明:∵AC是⊙B的切線,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°.
∵BC=BD,
∴∠BCD=∠BDC.
∴∠ACD+∠BDC=90°.
∵AC=AE,
∴∠ACD=∠AED.
∵∠ADE=∠BCD,
∴∠AED+∠ADE=90°.
∴∠EAD=90°.
即AE⊥AB.

(2)證明:過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F,
∵∠ADE=∠BDF,∠EAD=∠BFD,
∴△ADE∽△FDB.
=
即DE•FD=AD•DB.
∵DC=2FD,
∴DE•DC=2AD•DB.

(3)解:∵AE=3,BD=4,
在Rt△ABC中,
(AD+BD)2=AC2+BC2
即(AD+4)2=32+42解得AD=1,
∴DE===
∵DE•DC=2AD•DB,
×DC=2×1×4,
∴DC=
點(diǎn)評(píng):本題主要考查切線的性質(zhì)及相似三角形的判定和應(yīng)用.
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(1)求證:AE⊥AB;
(2)求證:DE•DC=2AD•DB;
(3)如果AE=3,BD=4,求DC的長(zhǎng).

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