Question

【題目】如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣4）的拋物線(xiàn)y=x2+bx+c與x軸相交于B（﹣2，0），C兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)；

（1）求拋物線(xiàn)的解析式并用配方法求頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）若拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)P，使∠PCB=∠ABC，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）將拋物線(xiàn)y=x2+bx+c向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線(xiàn)，若新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M在△ABC內(nèi)，直接寫(xiě)出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4，（1，﹣）；（2）（2，﹣4）或（﹣6，20）；（3）0＜m＜。

【解析】試題分析：（1）只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線(xiàn)的解析式，然后用配方法就可求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）可分點(diǎn)P在x軸的下方和上方兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，根據(jù)拋物線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，直線(xiàn)PC與直線(xiàn)AB平行，可用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AB的解析式，然后再根據(jù)兩平行直線(xiàn)一次項(xiàng)的系數(shù)相同，求出直線(xiàn)PC的解析式，然后只需求出直線(xiàn)PC與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，就可解決問(wèn)題；

（3）根據(jù)條件可得新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1﹣m，﹣1），故點(diǎn)M始終在直線(xiàn)y=﹣1上．設(shè)直線(xiàn)y=﹣1與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)P，與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)Q，由點(diǎn)M在△ABC內(nèi)可得點(diǎn)M在線(xiàn)段PQ上（不包括端點(diǎn)P、Q），只需求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，就可解決問(wèn)題．

試題解析：解：（1）∵點(diǎn)A（0，﹣4）、B（﹣2，0）在拋物線(xiàn)y=x2+bx+c上，∴，解得： ，∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2﹣x﹣4．

∵y=x2﹣x﹣4=（x2﹣2x+1﹣1）﹣4=（x﹣1）2﹣，∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣）；

（2）①點(diǎn)P在x軸的下方，如圖1，

∵∠PCB=∠ABC，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)A（0，﹣4）與點(diǎn)P也關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣4）；

②點(diǎn)P在x軸的上方，直線(xiàn)PC記為直線(xiàn)l，如圖2，

令y=0，得（x﹣1）2﹣=0，解得：x1=﹣2，x2=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）．

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+t，則有，解得： ，∴直線(xiàn)AB的解析式為y=﹣2x﹣4．

∵∠PCB=∠ABC，∴直線(xiàn)AB∥直線(xiàn)l，∴直線(xiàn)l可設(shè)為y=﹣2x+n．∵點(diǎn)C（4，0）在直線(xiàn)y=﹣2x+n上，∴﹣8+n=0，∴n=8，∴直線(xiàn)l的解析式為y=﹣2x+8，解方程組，得或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣6，20）．

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣4）或（﹣6，20）；

（3）m的取值范圍為0＜m＜．

解題過(guò)程如下：

由題可得新拋物線(xiàn)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1﹣m，﹣+）即（1﹣m，﹣1）．

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=px+q，則有，解得： ，∴直線(xiàn)AC的解析式為y=x﹣4．

設(shè)直線(xiàn)y=﹣1與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)P，與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)Q，如圖3，

由﹣2x﹣4=﹣1，得：x=﹣，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣1）；

由x﹣4=﹣1，得：x=3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，﹣1）．

∵新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M（1﹣m，﹣1）在△ABC內(nèi)，∴點(diǎn)M在線(xiàn)段PQ上（不包括端點(diǎn)P、Q），∴，解得：﹣2＜m＜．

∵m＞0，∴m的取值范圍為0＜＜m＜．