Question

【題目】將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形A1BC1D1，點(diǎn)A、C、D的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1、C1、D1

（1）當(dāng)點(diǎn)A1落在AC上時(shí)

①如圖1，若∠CAB＝60°，求證：四邊形ABD1C為平行四邊形；

②如圖2，AD1交CB于點(diǎn)O．若∠CAB≠60°，求證：DO＝AO；

（2）如圖3，當(dāng)A1D1過點(diǎn)C時(shí)．若BC＝5，CD＝3，直接寫出A1A的長．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）

【解析】

（1）①首先證明△ABA1是等邊三角形，可得∠AA1B＝∠A1BD1＝60°，即可解決問題．

②首先證明△OCD1≌△OBA（AAS），推出OC＝OB，再證明△DCO≌△ABO（SAS）即可解決問題．

（2）如圖3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．利用勾股定理求出AE，A1E即可解決問題．

（1）證明：①如圖1中，

∵∠BAC＝60°，BA＝BA1，

∴△ABA1是等邊三角形，

∴∠AA1B＝60°，

∵∠A1BD1＝60°，

∴∠AA1B＝∠A1BD1，

∴AC∥BD1，

∵AC＝BD1，

∴四邊形ABD1C是平行四邊形．

②如圖2中，連接BD1．

∵四邊形ABD1C是平行四邊形，

∴CD1∥AB，CD1＝AB，

∠OCD1＝∠ABO，

∵∠COD1＝∠AOB，

∴△OCD1≌△OBA（AAS），

∴OC＝OB，

∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO，

∴△DCO≌△ABO（SAS），

∴DO＝OA．

（2）如圖3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．

在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝5．AB＝3，

∴CA1＝＝4，

∵A1CA1B＝BCA1F，

∴A1F＝，

∵∠A1FB＝∠A1EB＝∠EBF＝90°，

∴四邊形A1EBF是矩形，

∴EB＝A1F＝，A1E＝BF＝，

∴AE＝3﹣＝，

在Rt△AA1E中，AA1＝＝．