Question

【題目】如圖，在中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，連結(jié)、、．若，，，則周長(zhǎng)的最小值是_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，點(diǎn)O關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN交AB于F，交AD于E，此時(shí)△OEF的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)的最小值＝MN，由作圖得AN＝AO＝AM，∠NAD＝∠DAO，∠MAB＝∠BAO，于是得到∠MAN＝90°，過D作DP⊥AB于P，則△ADP是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AP＝DP＝AD，求得AP＝DP＝5，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OQ＝DP＝，BQ＝BP＝（ABAP）＝1，根據(jù)勾股定理求出AO＝，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解：作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，點(diǎn)O關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN交AB于F，交AD于E，此時(shí)△OEF的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)的最小值＝MN，

∴AN＝AO＝AM，∠NAD＝∠DAO，∠MAB＝∠BAO，

∵∠DAB＝45°，

∴∠MAN＝90°，

過D作DP⊥AB于P，則△ADP是等腰直角三角形，

∴AP＝DP＝AD，

∵AD＝BC＝，

∴AP＝DP＝5，

設(shè)OM⊥AB于Q，則OQ∥DP，

∵OD＝OB，

∴OQ＝DP＝，BQ＝BP＝（ABAP）＝1，

∴AQ＝6，

∴AO＝，

∴AM＝AN＝AO＝，

∴MN＝AM＝，

∴△OEF周長(zhǎng)的最小值是．

故答案為：．