Question

如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊；以AC中點O為圓心，AC長為半徑作⊙O，交BC于E，過O作OD∥BC交⊙O于D，連結(jié)AE、AD、DC．

（1）求證：D是的中點；

（2）求證：∠DAO =∠B +∠BAD；

（3）若，且AC=4，求CF的長.

 

Answer 1

證明：（1）∵AC是⊙O的直徑

∴AE⊥BC   

∵OD∥BC

∴AE⊥OD     ∴D是的中點   

（2）方法一：

如圖，延長OD交AB于G，則OG∥BC 

∴∠AGD=∠B

∵∠ADO=∠BAD+∠AGD  

又∵OA=OD

∴∠DAO=∠ADO

∴∠DAO=∠B +∠BAD   

方法二：

如圖，延長AD交BC于H 

則∠ADO=∠AHC

∵∠AHC=∠B +∠BAD   

∴∠ADO =∠B +∠BAD

又∵OA=OD

∴∠DAO=∠B +∠BAD  

（3） ∵AO=OC    ∴

∵  ∴ 

∵∠ACD=∠FCE     ∠ADC=∠FEC=90°

∴△ACD∽△FCE   

∴   即:  

∴CF=2