Question

平面直角坐標(biāo)系中，?ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（0，3）、（-1，0），將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到?A'B'OC'．
（1）若拋物線過點(diǎn)C，A，A'，求此拋物線的解析式；
（2）?ABOC和?A'B'OC'重疊部分△OC'D的周長；
（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，問：點(diǎn)M在何處時△AMA'的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）先證明△C′OD∽△BOA，由相似三角形的性質(zhì)即可得出重疊部分△OC'D的周長；
（3）根據(jù)三角形面積求出，配方即可得到△AMA'的最大面積和M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵?ABOC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到?A'B'OC'，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（3，0）．
∵拋物線過點(diǎn)A、C、A′．
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²+bx+c（a≠0），可得

a-b+c=0 c=3 9a+3b+c=0

，
解得

a=-1 b=2 c=3

．
故此拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）∵AB∥CO，∴∠OAB=90°，
∵AB=OC=1，AO=3．
∴OB=

10

．
可證△C′OD∽△BOA，
△C′OD的周長與△BOA的周長比=OC′：OB=1：

10

△BOA的周長=4+

10

，
△C′OD的周長=

2 10 +5

5

．

（3）連接A′A，OM，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m，n），
∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴n=-m²+2m+3，
∴S_△AMA′=S_△AMO+S_△OMA′-S_△AOA′
=

1

2

OA•m+

1

2

OA′•n-

1

2

OA•OA′
=

3

2

（m+n）-

9

2

=

3

2

（m+n-3），
將n=-m²+2m+3代入，原式=-

3

2

（m²-3m）=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

，
∵0＜m＜3，
∵m=

3

2

時，n=

15

4

，△AMA'的面積最大S_△AMA'=

27

8

，
∴M（

3

2

，

15

4

），△AMA'的面積最大S_△AMA'=

27

8

．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，二次函數(shù)的最值問題，綜合性強(qiáng)，有一定的難度．