Question

如圖，Rt△ADE可由Rt△CAB旋轉(zhuǎn)而成，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是D，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（1，4）．
（1）寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并利用尺規(guī)作圖直接在圖中作出旋轉(zhuǎn)中心Q（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）求直線AE對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）將△ADE沿垂直于x軸的線段PT折疊，（點(diǎn)T在x軸上，點(diǎn)P在AE上，P與A、E不重合）如圖，使點(diǎn)A落在x軸上，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x，0），△PTF與△ADE重疊部分的面積為S．
①試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）；
②當(dāng)x為何值時(shí)，S的面積最大？最大值是多少？
③是否存在這樣的點(diǎn)T，使得△PEF為直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)有理由．

Answer 1

解：（1）∵Rt△ADE可由Rt△CAB旋轉(zhuǎn)而成，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是D，
∴△ADE≌△CAB，
∴AD=CA=4，DE=AB=2，
∴OD=OA+AD=1+4=5，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2）．
連接BE，作出線段AD與線段BE的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為Q；

（2）設(shè)直線AE對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
∵A（1，0），E（5，2），
∴，解得，
∴直線AE對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x-；

（3）①分兩種情況：
（i）當(dāng)點(diǎn)F在AD之間時(shí)，重疊部分是△PTF，如圖．
∵點(diǎn)P在AE：y=x-上，PT⊥x軸，點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x，0），
∴PT=x-．
∵OT=x，OA=1，
∴AT=OT-OA=x-1，
∴TF=AT=x-1．
∵S_△PTF=TF•PT=AT•PT=（x-1）•（x-）=（x-1）²，
∴S=x²-x+．
∵當(dāng)F與D重合時(shí)，AT=AD=2，
∴1＜x≤3；
（ii）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D的右邊時(shí)，重疊部分是梯形PTDH．
∵∠DFH=∠DAE，∠FDH=∠ADE=90°，
∴△FDH∽△ADE，
∴，
∴HD=DF=[2（x-1）-4]=x-3，
∴S_梯形PTDH=（PT+HD）•TD=（x-+x-3）•（5-x）=-x²+x-，
當(dāng)T與D重合時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（9，0），
∴3＜x＜5．
綜上所述，S=；

②（i）當(dāng)1＜x≤3時(shí)，∵S=（x-1）²，
∴S隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=3時(shí)，S有取大值，且最大值是S=（3-1）²=1；
（ii）當(dāng)3＜x＜5時(shí)，∵S=-x²+x-=-（x-）²+，
∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值，且最大值是；
綜上所述，當(dāng)x=時(shí)，S有最大值，且最大值是S=；

③存在這樣的點(diǎn)T（，0）和（，0），能夠使得△PEF為直角三角形．
分兩種情況：
（i）當(dāng)△PFE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，作EF⊥AE交x軸于F．
∵△AED∽△EFD，
∴，
∴DF=DE=1，
∴點(diǎn)F（6，0），
∴點(diǎn)T（，0）；
（ii）當(dāng)△P′F′E以點(diǎn)F′為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖．
∵△AED∽△EF′D，
∴==，
∴DF′=DE=1，
∴點(diǎn)F′（4，0），
∴點(diǎn)T（，0）．
綜上（i）、（ii）知，滿足條件的點(diǎn)T坐標(biāo)為（，0）和（，0）．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，可知△ABC≌△DEA，則AB=DE=2，AC=DA=4，由此求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等可知旋轉(zhuǎn)中心Q既在線段AD的垂直平分線上，又在線段BE的垂直平分線上，為此，作出線段AD與線段BE的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為Q；
（2）設(shè)直線AE的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將A、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出；
（3）①分兩種情況：（i）當(dāng)點(diǎn)F在AD之間時(shí)，1＜x≤3，重疊部分是△PTF，由S_△PTF=TF•PT=AT•PT，可求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（ii）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D的右邊時(shí)，3＜x＜5，重疊部分是梯形PTDH，由S_梯形PTDH=（PT+HD）•TD，可求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②分兩種情況：（i）1＜x≤3；（ii）3＜x＜5，由①中所求的S與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合自變量的取值范圍，即可求解；
③由于tan∠EAD=，所以∠EAD≠45°，∠APT≠45°，∠APF≠90°，則∠EPF≠90°，當(dāng)△PEF為直角三角形時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：（i）當(dāng)△PFE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，作EF⊥AE交x軸于F，由△AED∽△EFD，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的邊相等列出比例式，即可求解；（ii）當(dāng)△P′F′E以點(diǎn)F′為直角頂點(diǎn)時(shí)，由△AED∽△EF′D，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的邊相等列出比例式，即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段垂直平分線的畫(huà)法，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，圖形面積的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．