【題目】如圖,拋物線y=﹣(x+1)(x﹣3)與x軸分別交于點A、B(點A在B的右側),與y軸交于點C,⊙P是△ABC的外接圓.
(1)直接寫出點A、B、C的坐標及拋物線的對稱軸;
(2)求⊙P的半徑;
(3)點D在拋物線的對稱軸上,且∠BDC>90°,求點D縱坐標的取值范圍;
(4)E是線段CO上的一個動點,將線段AE繞點A逆時針旋轉45°得線段AF,求線段OF的最小值.
【答案】(1)點B的坐標為(﹣1,0),點A的坐標為(3,0),點C的坐標為(0,3);拋物線的對稱軸為直線x=1;(2)⊙P的半徑為;(3)1<y<2;(4)3﹣.
【解析】
(1)分別代入y=0、x=0求出與之對應的x、y的值,進而可得出點A、B、C的坐標,再由二次函數的對稱性可找出拋物線的對稱軸;
(2)連接CP、BP,在Rt△BOC中利用勾股定理可求出BC的長,由等腰直角三角形的性質及圓周角定理可得出∠BPC=90°,再利用等腰直角三角形的性質可求出BP的值即可;
(3)設點D的坐標為(1,y),當∠BDC=90°時,利用勾股定理可求出y值,進而可得出:當1<y<2時,∠BDC>90°;
(4)將△ACO繞點A逆時針方向旋轉45°,點C落在點C′處,點O落在點O′處,根據旋轉的性質可找出點C′的坐標及∠AC′O′=45°,進而可找出線段C′O′所在直線的解析式,由點E在CO上可得出點F在C′O′上,過點O作OF⊥C′O′于點F,則△OC′F為等腰直角三角形,此時線段OF取最小值,利用等腰直角三角形的性質即可求出此時OF的長即可.
(1)當y=0時,﹣(x+1)(x﹣3)=0,
解得:x1=﹣1,x2=3,
∴點B的坐標為(﹣1,0),點A的坐標為(3,0);
當x=0時,y=﹣(0+1)×(0﹣3)=3,
∴點C的坐標為(0,3);
∵拋物線與x軸交于點(﹣1,0)、(3,0),
∴拋物線的對稱軸為直線x=1;
(2)連接CP、BP,如圖1所示,
在Rt△BOC中,BC=,
∵∠AOC=90°,OA=OC=3,
∴∠OAC=∠OCA=45°,
∴∠BPC=2∠OAC=90°,
∴CP=BP=BC=,
∴⊙P的半徑為;
(3)設點D的坐標為(1,y),當∠BDC=90°時,BD2+CD2=BC2,
∴[(﹣1﹣1)2+(0﹣y)2]+[(0﹣1)2+(3﹣y)2]=10,
整理,得:y2﹣3y+2=0,
解得:y1=1,y2=2,
∴當1<y<2時,∠BDC>90°;
(4)將△ACO繞點A逆時針方向旋轉45°,點C落在點C′處,點O落在點O′處,如圖2所示.
∵AC=,∠ACO=45°,
∴點C′的坐標為(3﹣3,0),∠AC′O′=45°,
∴線段C′O′所在直線的解析式為y=﹣x+3﹣3,
∵點E在線段CO上,
∴點F在線段C′O′上.
過點O作OF⊥C′O′于點F,則△OC′F為等腰直角三角形,此時線段OF取最小值,
∵△OC′F為等腰直角三角形,
∴OF=OC′=(3﹣3)=3﹣.
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【題目】如圖,在中,,點D在BC上,,過點D作,垂足為E,經過A,B,D三點.
求證:AB是的直徑;
判斷DE與的位置關系,并加以證明;
若的半徑為10m,,求DE的長.
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【題目】定義:在平面直角坐標系xOy中,如果將點P繞點T(0,t)(t>0)旋轉180°得到點Q,那么稱線段QP為“拓展帶”,點Q為點P的“拓展點”.
(1)當t=3時,點(0,0)的“拓展點”坐標為 ,點(﹣1,1)的“拓展點”坐標為 ;
(2)如果 t>1,當點M(2,1)的“拓展點”N在函數y=﹣的圖象上時,求t的值;
(3)當t=1時,點Q為點P(2,0)的“拓展點”,如果拋物線 y=(x﹣m)2﹣1與“拓展帶”PQ有交點,求m的取值范圍.
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【題目】今年,我國海關總署嚴厲打擊“洋垃圾”違法行動,堅決把“洋垃圾”拒于國門之外.如圖,某天我國一艘海監(jiān)船巡航到A港口正西方的B處時,發(fā)現(xiàn)在B的北偏東60°方向,相距150海里處的C點有一可疑船只正沿CA方向行駛,C點在A港口的北偏東30°方向上,海監(jiān)船向A港口發(fā)出指令,執(zhí)法船立即從A港口沿AC方向駛出,在D處成功攔截可疑船只,此時D點與B點的距離為75海里.
(1)求B點到直線CA的距離;
(2)執(zhí)法船從A到D航行了多少海里?(結果保留根號)
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【題目】如圖,為一圓洞門.工匠在建造過程中需要一根橫梁AB和兩根對稱的立柱CE、DF來支撐,點A、B、C、D在⊙O上,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,且AB=2,EF=,=120°.
(1)求出圓洞門⊙O的半徑;
(2)求立柱CE的長度.
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【題目】如圖1,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx﹣與x軸交于點A(1,0)和點B(﹣3,0).繞點A旋轉的直線l:y=kx+b1交拋物線于另一點D,交y軸于點C.
(1)求拋物線的函數表達式;
(2)當點D在第二象限且滿足CD=5AC時,求直線l的解析式;
(3)在(2)的條件下,點E為直線l下方拋物線上的一點,直接寫出△ACE面積的最大值;
(4)如圖2,在拋物線的對稱軸上有一點P,其縱坐標為4,點Q在拋物線上,當直線l與y軸的交點C位于y軸負半軸時,是否存在以點A,D,P,Q為頂點的平行四邊形?若存在,請直接寫出點D的橫坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=60°,BC=3厘米,AC=4厘米,點P從點B出發(fā),沿B→C→A以每秒1厘米的速度勻速運動到點A.設點P的運動時間為x秒,B、P兩點間的距離為y厘米.
小新根據學習函數的經驗,對函數隨自變量的變化而變化的規(guī)律進行了探究.
下面是小新的探究過程,請補充完整:
(1)通過取點、畫圖、測量,得到了x與y的幾組值,如下表:
x(s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y(cm) | 0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 2.7 | 2.7 | m | 3.6 |
經測量m的值是(保留一位小數).
(2)建立平面直角坐標系,描出表格中所有各對對應值為坐標的點,畫出該函數的圖象;
(3)結合畫出的函數圖象,解決問題:在曲線部分的最低點時,在△ABC中畫出點P所在的位置.
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